Смена знака метрической координаты Шварцшильда в 0≤r≤2GM0≤r≤2GM0\leq r \leq 2GM

В координатах Шварцшильда изменение знака$g_{00}$и$g_{11}$компоненты метрики означает, что в некотором смысле$t$становится «пространственной» координатой и$r$«временной»: «будущее» указывает на уменьшение$r$вместо увеличения$t$, вы можете видеть, что, глядя на световые конусы в координатах Шварцшильда, см., например, этот рисунок

Световые конусы Шварцшильда в координатах Шварцшильда (из MTW , стр. 848)

Кроме того, внутри поверхности$r = r_\text{S} = 2M$у вас не может быть положительного$\mathrm{d}s^2$без ненулевого значения$\mathrm{d}r^2$из-за смены знака, поэтому внутри черной дыры Шварцшильда вы должны двигаться. Это, опять же, можно увидеть с помощью приведенных выше световых конусов: линия слов не может оставаться постоянной.$r$.

Тот факт, что после пересечения горизонта событий световые конусы указывают на$r = 0$сингулярность верна и при использовании других координат, таких как координаты Крускала-Секереша

Метрика Шварцшильда в координатах Крускала-Секереса (полное определение координат см. в статье Википедии ):

$$\begin{equation}\mathrm{d}s^{2} = \frac{4r_{\text{S}}^{3}}{r}\mathrm{e}^{-r/r_{\text{S}}}(\mathrm{d}v^{2} - \mathrm{d}u^{2}) - r^{2}\mathrm{d}\theta^{2} - r^{2}\sin^{2}\theta\mathrm{d}\phi^{2}\end{equation}$$

Световые конусы Шварцшильда в координатах Крускала-Секереша. $r = 0$область с внутренней зубчатой ​​границей (из MTW , стр. 848)

и координаты Эддингтона-Финкельштейна

Метрика Шварцшильда в координатах Эддингтона-Финкельштейна (полное определение координат см. в статье Википедии ):

$$\begin{equation}\mathrm{d}s^{2} = \biggl(1 - \frac{r_{\text{S}}}{r}\biggr)\mathrm{d}\tilde{v}^{2} - 2\mathrm{d}\tilde{v}\mathrm{d}r - r^{2}\mathrm{d}\theta^{2} - r^{2}\sin^{2}\theta\mathrm{d}\phi^{2}\end{equation}$$

Световые конусы Шварцшильда в координатах Эддингтона-Финкельштейна (из MTW , стр. 849)

Смена знака имеет физический смысл в координатах Шварцшильда, потому что Шварцшильд$t$и$r$координаты имеют физический смысл ($t$это далекое время ,$r$уменьшенная окружность ), в то время как я не знаю какого-либо простого физического смысла Крускала-Секереса$u$и$v$координаты или Эддингтона-Финкельштейна$\tilde{v}$координировать. Обратите внимание, что$u$,$v$и$\tilde{v}$координаты микс оригинальный Шварцшильд$t$и$r$координаты. В зависимости от используемых координат не всегда происходит изменение знака в компонентах метрики (в координатах Крускала-Секереша вообще нет изменения знака), поэтому не принимайте это изменение как общее правило.

Метрический тензор Керра с координатами Бойера-Линдквиста (кратко описанный в этом введении к пространству-времени Керра Мэттом Виссером) выглядит следующим образом:

$$\begin{equation} g_{\mu\nu} = \begin{pmatrix} (\Delta - a^{2}\sin^{2}\theta)\Sigma^{-1} & 0 & 0 & a\Sigma^{-1}r_{\text{S}}r\sin^{2}\theta \\ 0 & -\Delta^{-1}\Sigma & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -\Sigma & 0 \\ a\Sigma^{-1}r_{\text{S}}r\sin^{2}\theta & 0 & 0 & -\bigl((r^{2} + a^{2}) + a^{2}\Sigma^{-1}r_{\text{S}}r\sin^{2}\theta\bigr)\sin^{2}\theta \end{pmatrix} \end{equation}$$ с $$\begin{align} \Delta &= r^{2} - r_{\text{S}}r + a^{2}, \\ \Sigma &= r^{2} + a^{2}\cos^{2}\theta. \end{align}$$ The $g_{00}$компонента меняет знак на поверхностях $$r_{\text{E}}^{\pm} = M \pm \sqrt{M^{2} - a^{2}\cos^{2}\theta}$$ Вместо,$g_{11}$меняет знак на поверхностях $$r_{\pm} = M \pm \sqrt{M^{2} - a^{2}}$$ которые определяют внешний (с$+$знак) и внутренний (с$-$знак) горизонты событий. Поэтому они меняют свой знак на двух разных поверхностях. Как указал Джерри Ширмер в комментарии , это произошло бы и в геометрии Шварцшильда с керроподобными недиагональными координатами (например, это происходит с координатами Эддингтона-Финкельштейна). Это не означает, что сигнатура метрики изменится: всегда будет отрицательное (положительное) собственное значение и три других положительных (отрицательных) собственных значения. В недиагональном метрическом тензоре (таком как тензор Шварцшильда в координатах Эддингтона-Финкельштейна или керровский в координатах Бойера-Линдквиста) диагональные компоненты метрического тензора не обязательно являются собственными значениями.