Почему конкретно плотность вероятности определяется как |Ψ|2=ΨΨ∗|Ψ|2=ΨΨΨ∗|\Psi|^2=\Psi \Psi^{*}?

Это соглашение о нормализации для$\Psi$- действительно, единственный разумный. Если плотность вероятности$k|\Psi|^2$, просто поглотить$\sqrt{k}$фактор в$\Psi$. Эту плотность не следует интерпретировать как площадь. В самом деле, настоящая причина, по которой мы ссоримся, не имеет ничего общего с$2$-мерная геометрия.

Как и сейчас, тогда в комплексной плоскости плотность вероятности представляет собой просто прямоугольную область для комплексного вектора.

Я не думаю, что полезно визуализировать$|\psi|^2$как площадь прямоугольника, длины сторон которого равны$\mathcal{Re}[\psi]$и$\mathcal{Im}[\psi]$.

В стандартной формулировке квантовой механики состояния$^\dagger$системы представляются элементами гильбертова пространства$\mathscr H$, а наблюдаемые величины представляются как линейные самосопряженные операторы на$\mathscr H$. Ожидаемое значение наблюдаемой$\hat A$в штате$\psi$дан кем-то

Для упрощения расчетов удобно (но не обязательно) выбрать$\psi$нормализоваться, т.$\Vert \psi\Vert^2 = 1$. Если мы сделаем этот выбор, ожидаемое значение оператора положения$\big(\hat X\psi\big)(x) = x \psi(x)$дан кем-то

Сравнивая с ожидаемым значением случайной величины из стандартной теории вероятностей, мы признаем$|\psi(x)|^2$как плотность вероятности, соответствующая переменной положения.

Наконец, обратите внимание, что если бы мы не нормализовали$\psi$, так$\Vert \psi \Vert^2 = C^2 \neq 1$, то мы нашли бы, что плотность вероятности определяется выражением$|\psi(x)|^2/C^2$. В результате тот факт, что плотность вероятности определяется выражением$|\psi(x)|^2$без дополнительных числовых факторов является просто результатом нашего удобного выбора нормализации.

$^\dagger$В действительности это справедливо только для так называемых чистых состояний. Существует более общее понятие состояния, в котором их можно смешивать , но это выходит за рамки данного объяснения.