Отображение силы Минковского в ковариантной форме [дубликат]

Поэтому я хотел бы показать

$$\begin{equation} K^{\mu} = \frac{q}{c}F^{\mu\nu}u_{\nu} = \frac{q}{c}\left[\partial^{\mu}(A^{\nu}u_{\nu}) - \frac{dA^{\mu}}{d \tau}\right] \end{equation}$$

и я поступил следующим образом:

Я могу переписать электрические и магнитные поля

$$\begin{equation} \textbf{E}(\textbf{r},t) = -\nabla\Phi(\textbf{r},t) -\frac{1}{c}\frac{\partial \textbf{A}(\textbf{r},t)}{\partial t} \end{equation}$$

$$\begin{equation} \textbf{B}(\textbf{r},t) = \nabla \times \textbf{A}(\textbf{r},t) \end{equation}$$

используя четырехградиентную нотацию, чтобы получить

$$\begin{equation} E^i = -(\partial^0A^i - \partial^iA^0) \end{equation}$$

$$\begin{equation} B^i = -(\partial^jA^k - \partial^kA^j) \end{equation}$$

где индексы$(ijk)$являются циклическими перестановками$(123)$. Я могу найти контравариантный тензор электромагнитного поля, объединив эти выражения для электрического и магнитного полей в матричной форме как

$$\begin{equation} F^{\mu\nu} = \partial^{\mu}A^{\nu} - \partial^{\nu}A^{\mu} = \begin{bmatrix} 0 & -E_x & -E_y & -E_z \\ E_x & 0 & -B_z & B_y \\ E_y & B_z & 0 & -B_x \\ E_z & -B_y & B_x & 0 \end{bmatrix} \end{equation}$$

Если я умножу этот тензор на четыре скорости, я получу

$$\begin{equation*} \begin{aligned} F^{\mu\nu}u_{\nu} = \gamma \begin{bmatrix} 0 & -E_x & -E_y & -E_z \\ E_x & 0 & -B_z & B_y \\ E_y & B_z & 0 & -B_x \\ E_z & -B_y & B_x & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c \\ -\dot{x} \\ -\dot{y} \\ -\dot{z} \end{bmatrix} = \gamma \begin{bmatrix} \textbf{E} \cdot \textbf{r} \\ cE_x + \dot{y}B_z - \dot{z}B_y \\ cE_y + \dot{z}B_x - \dot{x}B_z \\ cE_z + \dot{x}B_y - \dot{y}B_x \end{bmatrix} \end{aligned} \end{equation*}$$

что дает мне

$$\begin{equation} F^{\mu\nu}u_{\nu} = \begin{bmatrix} \textbf{E} \cdot \dot{\textbf{r}} \\ c\textbf{E} + \dot{\textbf{r}} \times \textbf{B} \end{bmatrix} \end{equation}$$

Я замечаю, что пространственная составляющая правой части аналогична силе Лоренца (за вычетом некоторых факторов)

$$\begin{equation} \textbf{F}_L = e\textbf{E} + \frac{e}{c}\dot{\textbf{r}} \times \textbf{B} \end{equation}$$

Отсюда я могу найти формоинвариантное обобщение второго закона Ньютона для этого случая как

$$\begin{equation} \frac{e}{c}F^{\mu\nu}u_{\nu} = \frac{d(mu^{\mu})}{d\tau} \end{equation}$$

Теперь мой вопрос таков: мне рассказали рассуждения на следующем шаге, где я говорю, что прежде чем я напишу силу Минковского , заданную сжатым тензором поля, я отмечу, что:

$$\begin{equation*} \begin{aligned} (\partial^{\mu}A^{\nu})u_{\nu} = \partial^{\mu}(A^{\nu}u_{\nu}) - A^{\nu}\underbrace{\partial^{\nu}u_{\nu}}_\text{=0} \end{aligned} \end{equation*}$$

и

$$\begin{equation*} \begin{aligned} \frac{dA^{\mu}}{d\tau} = (\partial^{\nu}A^{\mu})\frac{dx_{\nu}}{d\tau} + \underbrace{\frac{\partial A^{\mu}}{\partial \tau}}_\text{=0} \end{aligned} \end{equation*}$$

Мое объяснение этому состоит в том, что соответствующие частные производные равны нулю, потому что$u_{\nu}$не является явной функцией пространственной компоненты$x_{\mu}$и$A^{\mu}$не является явной функцией временной составляющей$\tau$. Однако мне сказали, что здесь в моем аргументе есть ошибка. Исходя из этих рассуждений, я сказал, что могу записать силу Минковского как

$$\begin{equation*} \begin{aligned} K^{mu} = \frac{e}{c}F^{\mu\nu}u_{\nu} = \frac{e}{c}\left[\partial^{\mu}(A^{\nu}u_{\nu}) - \frac{dA^{\mu}}{d\tau}\right] \end{aligned} \end{equation*}$$

но этот аргумент не имел бы силы, если бы мои рассуждения были неверны.

tl;dr: По-видимому, мои рассуждения, чтобы получить от

$$\begin{equation} \frac{e}{c}F^{\mu\nu}u_{\nu} = \frac{d(mu^{\mu})}{d\tau} \end{equation}$$

к

$$\begin{equation*} \begin{aligned} K^{mu} = \frac{e}{c}F^{\mu\nu}u_{\nu} = \frac{e}{c}\left[\partial^{\mu}(A^{\nu}u_{\nu}) - \frac{dA^{\mu}}{d\tau}\right] \end{aligned} \end{equation*}$$

неправильно, но я не вижу проблемы. Кто-нибудь на stackexchange видит мою проблему?