Ожидаемое значение при втором квантовании

Question

Ожидаемое значение при втором квантовании

Физика
операторы
квантовая механика
вторичное квантование

Мерлин1896

Я застрял в вычислении простого ожидаемого значения для оператора, которое выражается в секундном квантовании. Я знаю результат, но не могу его доказать.

Допустим, у меня есть одночастичная волновая функция. $|\phi_n\rangle$ данный $|\phi_n\rangle=\sum_{j=1}^K |\alpha_j\rangle A_{j,n}$ , где $K$ - количество орбиталей/сайтов в системе и $A_{j,n}$ - амплитуды вероятности орбиталей $|\alpha_j\rangle$ . Индекс $n$ помечает частицы в системе, из которых мы имеем $N$ .

Орбитали ортонормированы, т.е.

\sum_{Дж} А_{Дж, м}^{*} А_{Дж, н} "=" {дельта}_{м, н} .

$\sum_j A_{j,m}^* A_{j,n} = \delta_{m,n}.$

Давайте игнорировать любые спиновые степени свободы. Волновая функция многих частиц теперь определяется выражением

| Ψ ⟩ "=" (\prod_{н "=" 1}^{Н} \sum_{Дж "=" 1}^{К} {\hat{с}}_{Дж}^{†} А_{Дж, н}) | вакуум ⟩,

$|\Psi\rangle = \left(\prod_{n=1}^N \sum_{j=1}^K \hat{c}^\dagger_j A_{j,n}\right) |\text{vac}\rangle,$ где

{\hat{c}}_{j}^{†}

$\hat{c}^\dagger_j$ обычный оператор создания на сайте

j

$j$ .

Теперь я хочу рассчитать ожидаемое значение

⟨ Ψ | {ЧАС}_{прыгать} | Ψ ⟩

$\langle \Psi|H_\text{hop}|\Psi\rangle$ с

{ЧАС}_{прыгать} "=" - т \sum_{Дж "=" 1}^{К} {\hat{с}}_{Дж + 1}^{†} {\hat{с}}_{Дж} + час . с .

$H_\text{hop}=-t \sum_{j=1}^K \hat{c}^\dagger_{j+1}\hat{c}_j + h.c.$ обычный скачкообразный гамильтониан. У меня есть сильное ощущение (и один пример расчета подтвердил это), что результат просто

⟨ Ψ | {ЧАС}_{прыгать} | Ψ ⟩ "=" - т \sum_{н "=" 1}^{Н} \sum_{Дж "=" 1}^{К} (А_{Дж, н}^{*} А_{Дж + 1, н} + А_{Дж + 1, н}^{*} А_{Дж, н})

$\langle \Psi|H_\text{hop}|\Psi\rangle = -t \sum_{n=1}^N \sum_{j=1}^K ( A_{j,n}^* A_{j+1,n} + A_{j+1,n}^* A_{j,n} )$

Я думаю, что этот результат тривиально связан с правилами Слейтера-Кондона, но я не вижу связи. Кроме того, я не могу явно вычислить ожидаемое значение, которое содержит сумму и произведения операторов создания/уничтожения.

Как лучше всего подтвердить свой результат?

удрв

Подсказка: используйте CCR, связанные с

{\hat{c}}_{j}

${\hat c}_j$ -с. Разве ваш примерный расчет уже не предполагает что-то подобное?

Мерлин1896

Что ж, готов поспорить, что в какой-то момент мне придется использовать коммутационные соотношения. Но я действительно не вижу, как я могу прийти к общему результату. Так как скалярное произведение является линейным, достаточно просто рассмотреть один член из

H_{hop}

$H_\text{hop}$ , так что, возможно, можно установить wlog

j = 1

$j=1$ . Но тогда у меня еще много

{\hat{c}}^{†}

$\hat{c}^\dagger$ из

| Ψ ⟩

$|\Psi\rangle$ (детерминанты Слейтера). Как мне поступить?

Ответы (1)

Ожидаемое значение при втором квантовании

Подсказка: используйте CCR, связанные с ${\hat c}_j$ -с. Разве ваш примерный расчет уже не предполагает что-то подобное?
Что ж, готов поспорить, что в какой-то момент мне придется использовать коммутационные соотношения. Но я действительно не вижу, как я могу прийти к общему результату. Так как скалярное произведение является линейным, достаточно просто рассмотреть один член из $H_\text{hop}$ , так что, возможно, можно установить wlog $j=1$ . Но тогда у меня еще много $\hat{c}^\dagger$ из $|\Psi\rangle$ (детерминанты Слейтера). Как мне поступить?

удрв · Answer 1

Для удобства в будущем обозначим

{\hat{ф}}_{н}^{†} "=" \sum_{Дж} А_{Дж, н} {\hat{с}}_{Дж}^{†}

${\hat \phi}^\dagger_n = \sum_j{A_{j,n} {\hat c}^\dagger_j}$

{\hat{х}}_{н}^{†} "=" \sum_{Дж} А_{Дж, н} {\hat{с}}_{Дж + 1}^{†}

${\hat \chi}^\dagger_n = \sum_j{A_{j,n} {\hat c}^\dagger_{j+1}}$ Среднее значение, которое вы хотите рассчитать, читает тогда

⟨ Ψ | {\hat{ЧАС}}_{0} | Ψ ⟩ "=" - т ⟨ 0 | \prod_{н} {\hat{ф}}_{н} (\sum_{Дж} {\hat{с}}_{Дж + 1}^{†} {\hat{с}}_{Дж}) \prod_{н} {\hat{ф}}_{н}^{†} | 0 ⟩

$\langle \Psi | {\hat H}_0| \Psi \rangle = - t\;\langle 0 | \prod_n{{\hat \phi}_n} \left(\sum_j{{\hat c}^\dagger_{j+1}{\hat c}_j} \right)\prod_n{{\hat \phi}^\dagger_n} |0\rangle$ Начиная с обычных CCR-ов,

{[{\hat{с}}_{Дж}, {\hat{с}}_{к}^{†}]}_{\mp} "=" {дельта}_{Дж к}, {[{\hat{с}}_{Дж}, {\hat{с}}_{к}]}_{\mp} "=" {[{\hat{с}}_{Дж}^{†}, {\hat{с}}_{к}^{†}]}_{\mp} "=" 0

$\left[ {\hat c}_j, {\hat c}^\dagger_k \right]_\mp = \delta_{jk},\;\;\;\;\; \left[ {\hat c}_j, {\hat c}_k\right]_\mp = \left[ {\hat c}^\dagger_j, {\hat c}^\dagger_k\right]_\mp = 0$ получать

[\sum_{Дж} {\hat{с}}_{Дж + 1}^{†} {\hat{с}}_{Дж}, {\hat{ф}}_{н}^{†}] "=" {\hat{х}}_{н}^{†}

$\left[ \sum_j{{\hat c}^\dagger_{j+1}{\hat c}_j}, {\hat \phi}^\dagger_n\right] = {\hat \chi}^\dagger_n$ и

{\hat{ф}}_{н}^{†} {\hat{х}}_{м}^{†} "=" \pm {\hat{х}}_{м}^{†} {\hat{ф}}_{н}^{†}

${\hat \phi}^\dagger_n {\hat \chi}^\dagger_m = \pm {\hat \chi}^\dagger_m {\hat \phi}^\dagger_n$

{\hat{ф}}_{н} {\hat{х}}_{м}^{†} "=" \pm {\hat{х}}_{м}^{†} {\hat{ф}}_{н} + \sum_{Дж} А_{Дж + 1, н}^{*} А_{Дж, м}

${\hat \phi}_n {\hat \chi}^\dagger_m = \pm {\hat \chi}^\dagger_m {\hat \phi}_n + \sum_j{A^*_{j+1, n}A_{j,m}}$ Теперь в среднем вам нужно рассчитать, использовать вышеизложенное для последовательного перемещения

(\sum_{j} {\hat{c}}_{j + 1}^{†} {\hat{c}}_{j})

$\left(\sum_j{{\hat c}^\dagger_{j+1}{\hat c}_j} \right)$ мимо орбитальных операторов справа:

(\sum_{Дж} {\hat{с}}_{Дж + 1}^{†} {\hat{с}}_{Дж}) \prod_{н} {\hat{ф}}_{н}^{†} "=" {\hat{ф}}_{1}^{†} (\sum_{Дж} {\hat{с}}_{Дж + 1}^{†} {\hat{с}}_{Дж}) \prod_{н > 1} {\hat{ф}}_{н}^{†} + {\hat{х}}_{1}^{†} \prod_{н \neq 1} {\hat{ф}}_{н}^{†} "="

$\left(\sum_j{{\hat c}^\dagger_{j+1}{\hat c}_j} \right)\prod_n{{\hat \phi}^\dagger_n} = {\hat \phi}^\dagger_1 \left(\sum_j{{\hat c}^\dagger_{j+1}{\hat c}_j} \right) \prod_{n>1}{{\hat \phi}^\dagger_n} + {\hat \chi}^\dagger_1 \prod_{n\neq 1} {{\hat \phi}^\dagger_n} =$

"=" \prod_{м "=" 1}^{м "=" 2} {\hat{ф}}_{м}^{†} (\sum_{Дж} {\hat{с}}_{Дж + 1}^{†} {\hat{с}}_{Дж}) \prod_{н > 2} {\hat{ф}}_{н}^{†} + {\hat{х}}_{1}^{†} \prod_{н \neq 1} {\hat{ф}}_{н}^{†} + {\hat{ф}}_{1}^{†} {\hat{х}}_{2}^{†} \prod_{н > 2} {\hat{ф}}_{н}^{†} "="

$= \prod_{m=1}^{m=2} {{\hat \phi}^\dagger_m} \left(\sum_j{{\hat c}^\dagger_{j+1}{\hat c}_j} \right) \prod_{n>2}{{\hat \phi}^\dagger_n} + {\hat \chi}^\dagger_1 \prod_{n\neq 1} {{\hat \phi}^\dagger_n} + {\hat \phi}^\dagger_1 {\hat \chi}^\dagger_2 \prod_{n > 2} {{\hat \phi}^\dagger_n} =$

"=" \prod_{м "=" 1}^{м "=" 2} {\hat{ф}}_{м}^{†} (\sum_{Дж} {\hat{с}}_{Дж + 1}^{†} {\hat{с}}_{Дж}) \prod_{н > 2} {\hat{ф}}_{н}^{†} + {\hat{х}}_{1}^{†} \prod_{н \neq 1} {\hat{ф}}_{н}^{†} \pm {\hat{х}}_{2}^{†} \prod_{н \neq 2} {\hat{ф}}_{н}^{†} "=" \dots "="

$= \prod_{m=1}^{m=2} {\hat \phi}^\dagger_m \left(\sum_j{{\hat c}^\dagger_{j+1}{\hat c}_j} \right) \prod_{n>2}{{\hat \phi}^\dagger_n} + {\hat \chi}^\dagger_1 \prod_{n\neq 1} {{\hat \phi}^\dagger_n} \pm {\hat \chi}^\dagger_2 \prod_{n \neq 2} {{\hat \phi}^\dagger_n} = \dots =$

"=" \prod_{м} {\hat{ф}}_{м}^{†} (\sum_{Дж} {\hat{с}}_{Дж + 1}^{†} {\hat{с}}_{Дж}) + \sum_{м} (\pm 1)^{м - 1} {\hat{х}}_{м}^{†} \prod_{н \neq м} {\hat{ф}}_{н}^{†}

$= \prod_m {{\hat \phi}^\dagger_m} \left(\sum_j{{\hat c}^\dagger_{j+1}{\hat c}_j} \right) + \sum_m{ (\pm 1)^{m-1} {\hat \chi}^\dagger_m \prod_{n \neq m} {{\hat \phi}^\dagger_n}}$ Первый член аннулирует правый вакуум, поэтому остается только сумма. Теперь введите орбитальные операторы слева и переверните каждый

{\hat{χ}}_{m}^{†}

${\hat \chi}^\dagger_m$ мимо них:

(\prod_{н} {\hat{ф}}_{н}) {\hat{х}}_{м}^{†} "=" \pm (\prod_{н > 1} {\hat{ф}}_{н}) {\hat{х}}_{м}^{†} {\hat{ф}}_{1} + (\prod_{н \neq 1} {\hat{ф}}_{н}) \sum_{Дж} А_{Дж + 1, 1}^{*} А_{Дж, м} "="

$\left(\prod_n{{\hat \phi}_n}\right) {\hat \chi}^\dagger_m = \pm \left(\prod_{n>1}{{\hat \phi}_n}\right) {\hat \chi}^\dagger_m {\hat \phi}_1 + \left(\prod_{n\neq 1}{{\hat \phi}_n}\right) \sum_j{A^*_{j+1, 1}A_{j,m}} =$

(\prod_{н > 1} {\hat{ф}}_{н}) {\hat{х}}_{м}^{†} \prod_{л "=" 1}^{л "=" 2} {\hat{ф}}_{л} + (\prod_{н \neq 1} {\hat{ф}}_{н}) \sum_{Дж} А_{Дж + 1, 1}^{*} А_{Дж, м} \pm (\prod_{н \neq 2} {\hat{ф}}_{н}) \sum_{Дж} А_{Дж + 1, 2}^{*} А_{Дж, м} "=" \dots "="

$\left(\prod_{n>1}{{\hat \phi}_n}\right) {\hat \chi}^\dagger_m \prod_{l=1}^{l=2} {{\hat \phi}_l} + \left(\prod_{n\neq 1}{{\hat \phi}_n}\right) \sum_j{A^*_{j+1, 1}A_{j,m}} \pm \left(\prod_{n\neq 2}{{\hat \phi}_n}\right)\sum_j{A^*_{j+1, 2}A_{j,m}} = \dots =$

"=" {\hat{х}}_{м}^{†} (\prod_{н} {\hat{ф}}_{н}) + \sum_{л} (\pm 1)^{л - 1} (\prod_{н \neq л} {\hat{ф}}_{н}) \sum_{Дж} А_{Дж + 1, л}^{*} А_{Дж, м}

$= {\hat \chi}^\dagger_m \left(\prod_n{{\hat \phi}_n}\right) + \sum_l{(\pm 1)^{l-1}\left(\prod_{n\neq l}{{\hat \phi}_n}\right) \sum_j{A^*_{j+1, l}A_{j,m}} }$ Первый член теперь аннулирует левый вакуум, и после подстановки всего искомое среднее становится

⟨ Ψ | {\hat{ЧАС}}_{0} | Ψ ⟩ "=" - т \sum_{Дж, л, м} (\pm 1)^{м - 1} (\pm 1)^{л - 1} А_{Дж + 1, л}^{*} А_{Дж, м} ⟨ 0 | (\prod_{н \neq л} {\hat{ф}}_{н}) (\prod_{н^{'} \neq м} {\hat{ф}}_{н^{'}}^{†}) | 0 ⟩ "="

$\langle \Psi | {\hat H}_0| \Psi \rangle = - t\;\sum_{j, l,m}{ (\pm 1)^{m-1} (\pm 1)^{l-1} A^*_{j+1, l}A_{j,m} \langle 0 |\left(\prod_{n\neq l}{{\hat \phi}_n}\right)\left( \prod_{n' \neq m} {{\hat \phi}^\dagger_{n'}}\right) |0\rangle } =$

⟨ Ψ | {\hat{ЧАС}}_{0} | Ψ ⟩ "=" - т \sum_{Дж, л, м} (\pm 1)^{м - 1} (\pm 1)^{л - 1} А_{Дж + 1, л}^{*} А_{Дж, м} {дельта}_{л, м}

$\langle \Psi | {\hat H}_0| \Psi \rangle = - t\;\sum_{j, l,m}{ (\pm 1)^{m-1} (\pm 1)^{l-1} A^*_{j+1, l}A_{j,m}\delta_{l,m} }$ и наконец

⟨ Ψ | {\hat{ЧАС}}_{0} | Ψ ⟩ "=" - т \sum_{Дж, м} А_{Дж + 1, м}^{*} А_{Дж, м}

$\langle \Psi | {\hat H}_0| \Psi \rangle = - t\;\sum_{j, m}{ A^*_{j+1, m}A_{j,m} }$ Могут быть некоторые ошибки, которые я пропустил, но это общая идея.

Ожидаемое значение при втором квантовании

Мерлин1896

удрв

Мерлин1896

Ответы (1)

удрв

Состав операторов сжатия?

Вывод гамильтониана одиночного тела в КТП

Как именно определяется «нормальный порядок оператора»?

Операторы создания и уничтожения

Волновые функциональные квантово-полевые собственные состояния Шрёдингера

Где я могу найти подробный вывод вида двухчастичных операторов при вторичном квантовании?

Как меняется гамильтониан Хаббарда при рассмотрении искажения Пайерлса (двудольная решетка)?

Связь между операторами уничтожения/создания гармонического осциллятора в КМ и вторичном квантовании

В чем на самом деле смысл второй квантованной волновой функции?

Путаница с лестничными операторами