В чем на самом деле смысл второй квантованной волновой функции?

Question

В чем на самом деле смысл второй квантованной волновой функции?

Акеми Хомура

Согласно тому, что я читал, второе квантование изначально возникло в результате попытки квантовать волновую функцию многих тел в уравнении Шредингера.

Мы могли бы записать коммутационное соотношение $\psi$ и $\psi^{\dagger}$ сначала применяя

| ψ (т) ⟩ "=" \sum_{н} ψ_{н} (т) | н ⟩

$|\psi(t)\rangle = \sum_n \psi_n(t) |n\rangle$

к уравнению Шредингера

ЧАС | ψ (т) ⟩ "=" я ℏ \partial_{т} | ψ (т) ⟩

$H|\psi(t)\rangle=i\hbar \partial_t |\psi(t)\rangle$

⟨ н | ЧАС | ψ (т) ⟩ "=" \sum_{м} ψ_{м} (т) ⟨ н | ЧАС | м ⟩ "=" я ℏ {\dot{ψ}}_{н} (т)

$\langle n|H| \psi(t) \rangle = \sum_m \psi_m(t) \langle n|H|m \rangle = i\hbar \dot \psi_n(t)$

Тогда рассмотрим гамильтониан как функционал от $\psi$ и $\psi^{*}$ , то есть

ЧАС (ψ, ψ^{*}) "=" ⟨ ЧАС ⟩ "=" ⟨ ψ | ЧАС | ψ ⟩ "=" \sum_{м, н} ⟨ ψ | м ⟩ ⟨ м | ЧАС | н ⟩ ⟨ н | ψ ⟩ "=" \sum_{м, н} ψ_{м}^{*} ψ_{н} ⟨ м | ЧАС | н ⟩

$H(\psi,\psi^*)=\langle H\rangle = \langle\psi|H|\psi\rangle = \sum_{m,n} \langle\psi| m \rangle \langle m|H|n \rangle \langle n|\psi \rangle = \sum_{m,n} \psi_m^* \psi_n \langle m|H|n \rangle$

Следовательно, делая частный дифференциал на $H$ в отношении $\psi$ и $\psi^*$ , мы получаем

\dot{ψ_{м}} "=" \frac{\partial ЧАС}{\partial (я ℏ ψ_{м}^{*})}

$\dot{\psi_m} = \frac{\partial H}{\partial (i\hbar \psi_m^*)}$

я ℏ \dot{ψ_{м}^{*}} "=" - \frac{\partial ЧАС}{\partial ψ_{м}}

$i\hbar\dot{\psi_m^*} = -\frac{\partial H}{\partial \psi_m}$

Оно имеет ту же форму, что и уравнения Гамильтона. Поэтому относительно $\psi$ как оператор, мы можем идентифицировать $\hat\psi_n \rightarrow \hat q_n$ и $i\hbar \hat\psi_n^\dagger \rightarrow \hat p_n$ .

Коммутационное соотношение между $\hat\psi$ и его сопряжение тогда

[\hat{ψ}, {\hat{ψ}}^{†}] "=" 1

$[\hat\psi,\hat\psi^\dagger] = 1$

Тем не менее, я все еще не могу понять, что оператор $\hat\psi$ на самом деле делает.

Я видел во многих учебниках и конспектах лекций, что $\hat\psi$ — оператор, уничтожающий частицу из волновой функции многих тел. Почему это?

туалет

Не помешало бы добавить шапку

\^

$\^$ подпишитесь на ваших операторов, чтобы мы могли легко отличить, какой

ψ

$\psi$ является оператором, который

ψ

$\psi$ это метка для бюстгальтера или кеты, а какой из них является просто комплексным числом.

туалет

Пример: если

{\hat{ψ}}_{k} (r)

$\hat{\psi}_k (r)$ является оператором уничтожения в позиции

r

$r$ ассоциируется с плоской волной с волновым вектором

k

$k$ , затем

⟨ 0 | {\hat{ψ}}_{k} (r) | k ⟩ = e^{i k r}

$\langle 0|\hat{\psi}_k (r)|k\rangle = e^{ikr}$ , где

| 0 ⟩

$|0\rangle$ это вакуум и

| k ⟩

$|k\rangle$ является собственным состоянием импульса с волновым вектором

k

$k$ .

Акеми Хомура

@IamAStudent Спасибо за предложение, я исправил этих операторов в шляпе. В вашем примере я до сих пор не понимаю, как вы получаете выражение

⟨ 0 | {\hat{ψ}}_{k} (r) | k ⟩ = e^{i k r}

$\langle 0|\hat{\psi}_k (r)|k\rangle = e^{ikr}$ если

{\hat{ψ}}_{k} (r)

$\hat{\psi}_k (r)$ определяется тем, что вы сказали. Однако, если

{\hat{ψ}}_{k} (r)

$\hat{\psi}_k (r)$ есть просто оператор уничтожения, который уничтожает частицу, «локализованную» в пространстве положений в точке

r

$r$ , Я вижу

⟨ 0 | {\hat{ψ}}_{k} (r)

$\langle 0|\hat{\psi}_k (r)$ в основном

⟨ r |

$\langle r|$ и приведенное выше выражение - это просто решение плоской волны в базисе положения.

Акеми Хомура

@IamAStudent Кстати, не могли бы вы рассказать мне, почему действие

\hat{ψ} (r)

$\hat{\psi}(r)$ состоит в том, чтобы аннигилировать частицу, локализованную в

r

$r$ ?

Ответы (1)

В чем на самом деле смысл второй квантованной волновой функции?

Не помешало бы добавить шапку $\^$ подпишитесь на ваших операторов, чтобы мы могли легко отличить, какой $\psi$ является оператором, который $\psi$ это метка для бюстгальтера или кеты, а какой из них является просто комплексным числом.
Пример: если $\hat{\psi}_k (r)$ является оператором уничтожения в позиции $r$ ассоциируется с плоской волной с волновым вектором $k$ , затем $\langle 0|\hat{\psi}_k (r)|k\rangle = e^{ikr}$ , где $|0\rangle$ это вакуум и $|k\rangle$ является собственным состоянием импульса с волновым вектором $k$ .
@IamAStudent Спасибо за предложение, я исправил этих операторов в шляпе. В вашем примере я до сих пор не понимаю, как вы получаете выражение $\langle 0|\hat{\psi}_k (r)|k\rangle = e^{ikr}$ если $\hat{\psi}_k (r)$ определяется тем, что вы сказали. Однако, если $\hat{\psi}_k (r)$ есть просто оператор уничтожения, который уничтожает частицу, «локализованную» в пространстве положений в точке $r$ , Я вижу $\langle 0|\hat{\psi}_k (r)$ в основном $\langle r|$ и приведенное выше выражение - это просто решение плоской волны в базисе положения.
@IamAStudent Кстати, не могли бы вы рассказать мне, почему действие $\hat{\psi}(r)$ состоит в том, чтобы аннигилировать частицу, локализованную в $r$ ?

Октай Догангюн · Answer 1

Второе квантование строит поле операторов из бесконечного множества первых квантованных гармонических осцилляторов, каждый из которых находится в определенной позиции. Поле квантовых гармонических осцилляторов...

В первом квантовании у вас есть операторы уничтожения и создания, действующие в импульсном пространстве. Позволять $| 0 \rangle$ — состояние вакуума, поэтому любое собственное состояние импульса одной частицы задается следующим:

\begin{matrix} (1) & | п ⟩ "=" {\hat{а}}^{†} (п) | 0 ⟩ \end{matrix}

$\tag{1} | p \rangle = \hat{a}^\dagger (p) \, | 0 \rangle$ где

{\hat{a}}^{†} (p)

$\hat{a}^\dagger (p)$ создает моду с импульсом

p

$p$ . Это старая добрая первая квантизация.

С другой стороны, мы можем записать собственное состояние положения, которое является преобразованием Фурье собственного состояния импульса, в терминах (1) следующим образом:

\begin{aligned} (2) & | Икс ⟩ & "=" \int д п ψ^{†} (Икс) | п ⟩ \end{aligned}

$\begin{align} \tag{2} | x \rangle &= \int dp \; \psi^\dagger (x) \;| p \rangle \\ \end{align}$ где

ψ^{†} (x) = ⟨ p | x ⟩

$\psi^\dagger (x) =\langle p|x \rangle$ — волновая функция (нормировочные множители опускаю). Теперь подставим сюда (1).

\begin{aligned} (2) & | Икс ⟩ & "=" \int д п ψ^{†} (Икс) {\hat{а}}^{†} (п) | 0 ⟩ \end{aligned}

$\begin{align} \tag{2} | x \rangle &= \int dp \; \psi^\dagger (x) \;\hat{a}^\dagger (p) \, | 0 \rangle \\ \end{align}$ Теперь выражение,

ψ^{†} (x) {\hat{a}}^{†} (p)

$\psi^\dagger (x) \;\hat{a}^\dagger (p)$ , подобен члену взвешенной суммы, где сумма соответствует интегралу по импульсному пространству.

Интуитивно мы можем думать, что каждая частица в положении, $x$ , создается как пакет колебаний со всеми значениями импульса, наложенными на вес, $\psi^\dagger(x)$ . Итак, учитывая все позиции, мы имеем поле наложенных друг на друга осцилляторов со всеми возможными значениями импульса . Мы можем написать это поле явно.

Итак, полевой оператор , $\hat{\Psi}^\dagger (x)$ , является оператором создания в позиции $x$ такой, что

\begin{aligned} (3) & | Икс ⟩ & "=" {\hat{Ψ}}^{†} (Икс) | 0 ⟩ \end{aligned}

$\begin{align} \tag{3} | x \rangle &= \hat{\Psi}^\dagger (x) \, | 0 \rangle \\ \end{align}$ где

\begin{aligned} (4) & {\hat{Ψ}}^{†} (Икс) "=" \int д п ψ^{†} (Икс) {\hat{а}}^{†} (п) \end{aligned}

$\begin{align} \tag{4} \hat{\Psi}^\dagger (x) = \int dp \; \psi^\dagger (x) \;\hat{a}^\dagger (p) \end{align}$ Итак, (3) говорит о том, что частица в положении

x

$x$ есть создание суперпозиции бесконечного числа осцилляторов в вакуумном состоянии, а оператор поля есть эта операция для каждого

x

$x$ . Вы можете видеть, что полевой оператор,

{\hat{Ψ}}^{†} (x)

$\hat{\Psi}^\dagger (x)$ , является оператором рождения частиц , потому что это в основном преобразование Фурье оператора создания лестницы,

{\hat{a}}^{†} (p)

$\hat{a}^\dagger (p)$ .

Это интуитивное построение канонического вторичного квантования. Теперь отсюда можно проверить коммутационные соотношения полей и их сопряженных импульсов, используя коммутационные соотношения лестничных операторов. Другие детали, касающиеся строгого математического и физического соответствия, могут быть достигнуты одна за другой.

В чем на самом деле смысл второй квантованной волновой функции?

Акеми Хомура

туалет

туалет

Акеми Хомура

Акеми Хомура

Ответы (1)

Октай Догангюн

Состав операторов сжатия?

Расчет ⟨p⟩⟨p⟩\langle p\rangle и ⟨p2⟩⟨p2⟩\langle p^2\rangle для волновой функции [закрыто]

Вывод гамильтониана одиночного тела в КТП

Вопрос о «волновой функции» в релятивистской квантовой механике (РКМ) и квантовой теории поля (КТП)

Как именно определяется «нормальный порядок оператора»?

Коллапс волновой функции к ее собственной функции при измерении

Нахождение T†T†T^\dagger, где Tφ(x)=φ(x+a)Tφ(x)=φ(x+a)T\varphi(x)=\varphi(x+a)

Операторы создания и уничтожения

Почему мы представляем векторы состояний с помощью кет-векторов?

Что такое квадрат оператора импульса P^P^\hat{P} в двух измерениях?