Сокращение между скалярным полем и собственным состоянием импульса

При решении ф 4 теории у Пескина, мы определяем сокращение (на стр. 110 уравнение 4.94)

С ( ф ( Икс ) | п ⟩ ) "=" ф ( Икс ) | п ⟩ .

То есть сокращение — это просто действие ф ( Икс ) о состоянии | п ⟩ . Пескин утверждает, что

ф ( Икс ) | п ⟩ "=" е − я п Икс | 0 ⟩ .

Однако, когда я вычисляю

ф ( Икс ) | п ⟩ "=" ∫ г 3 п ′ ( 2 π ) 3 ( а п ′ е − я п ′ ⋅ Икс + а п ′ † е я п ′ ⋅ Икс ) а п † | 0 ⟩ "=" ∫ г 3 п ′ ( 2 π ) 3 ( [ а п ′ , а п † ] е − я п ′ ⋅ Икс | 0 ⟩ + е я п ′ ⋅ Икс а п ′ † а п † | 0 ⟩ ) "=" ∫ г 3 п ′ ( 2 π ) 3 ( ( 2 π ) 3 дельта 3 ( п − п ′ ) е − я п ′ ⋅ Икс | 0 ⟩ + е я п ′ ⋅ Икс а п ′ † а п † | 0 ⟩ ) "=" е − я п Икс | 0 ⟩ + ∫ г 3 п ′ ( 2 π ) 3 е я п ′ ⋅ Икс а п ′ † а п † | 0 ⟩

Итак, у меня остался лишний член, но я не вижу причин, по которым он должен исчезнуть.

Какой версией P&S вы пользуетесь? В том, что у меня есть (1-е), уравнение, на которое вы ссылаетесь, отличается от того, которое вы цитируете. Вы сделали опечатку при переводе?
Извините, я сделал надлежащие правки.
Это все же другое...
У меня сейчас нет учебника.. но у меня есть последняя версия.. Скоро обновлю
Уравнение, которое я написал, — это то, как оно написано в самой последней версии Peskin.
Что ж, в 1-м издании все было правильно, а в более поздних, похоже, испортили. Правильная формула вот эта . Это решает проблему. Ваше здоровье!
Но это все еще не говорит мне, что происходит со вторым сроком. Это просто означает, что он определяет сокращение как действие на оператор лестницы. Так что у меня все еще был бы второй срок только без | 0 ⟩ .
Сокращение ф ( Икс ) и | п ⟩ определяется как _ е я п Икс . Это не определяется как ф ( Икс ) | п ⟩ . Поэтому выражение, которое вы (правильно) вычислили, здесь совершенно неуместно.
Поэтому, когда меня попросили найти пространство положений, правила Фейнмана для ф 4 теории (которая включает в себя нахождение факторов для внешних ног), я должен просто определить ее?
Нет, вы должны рассчитать коэффициент, связанный с внешними ногами, и определить сокращение ф ( Икс ) и | п ⟩ быть этим фактором. Если ф является скалярным полем, сжатие всегда будет е я п Икс . Для поля Дирака это будет либо ты ( п ) е я п Икс или в ( п ) е я п Икс , для частиц и античастиц соответственно. Для векторного поля ϵ мю ( п ) е я п Икс . И т. д.

Ответы (1)

В итоге я сам кое-что нашел в этом, поэтому я решил поделиться, если у кого-то еще возникнет такой же вопрос. Как указывало случайное преобразование Фурье, указанное определение в моем исходном вопросе не является правильным определением сжатия поля с собственным состоянием импульса. Правильное определение

(а) С ( ф | п ⟩ ) "=" е − я п Икс

Правильный способ думать об этом состоит в том, что это определение сокращения является просто обозначением для нормального упорядочения несжатого ф действие операторов на собственные состояния импульса .

Сказав это, я все еще не видел мотивации для этого определения. Но это имеет смысл. Вот мотивация. Используя теорему Вика в С -матрица у нас есть что

⟨ п 1 , п 2 | Н ( − я λ 4 ! ∫ г 4 Икс   ф 4 + схватки ) | п а , п б ⟩ .

Итак, термин «сокращения» просто относится к сокращениям ф операторы между собой, как обычно. Но, как утверждает Пескин на предыдущей странице, эти сокращения вносят вклад только в тривиальную часть С -matrix, поэтому мы игнорируем эти термины. Это просто оставляет незаключенным ф s под оператором нормального упорядочивания.

Чтобы справиться с этим, мы используем ф + , ф − операторы (как их определяет Пескин). Подключая их и расширяя, мы получаем

(1) − я λ 4 ! ∫ г 4 Икс ⟨ п 1 , п 2 | Н ( ф − 4 … + ф − ф − ф + ф + … + ф + 4 ) | п а , п б ⟩ .

Теперь, используя тот факт, что [ ф + , а п † ] "=" е − я п Икс это прямо показать, что

(2) ф + ф + а п а † а п б † | 0 ⟩ "=" 2 е − я п а Икс е − я п б Икс | 0 ⟩
.

Следовательно, только термины с ровно двумя ф + и ф − выживать. Таких слагаемых в уравнении (1) 6. Напомним, что Н оператор делает их все ф − ф − ф + ф + . Используя аналогичное соотношение (2) для двух ф − , мы получаем это

⟨ п 1 , п 2 | Н ( ф − 4 … + ф − ф − ф + ф + … + ф + 4 ) | п а , п б ⟩ "=" ( 6 ) ( 2 ) ( 2 ) е − я п а Икс е − я п б Икс е я п 1 Икс е я п 2 Икс "=" 4 ! е − я п а Икс е − я п б Икс е я п 1 Икс е я п 2 Икс ,

что комбинаторно оправдывает определение сжатия в (а).

Сокращение между скалярным полем и собственным состоянием импульса
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v