Означает ли сохранение плотности импульса сохранение плотности энергии?

В контексте специальной/общей теории относительности сохранение тензора энергии-импульса приводит к сохранению плотности импульса/энергии.$\nabla_\mu T^{\mu\nu}=0$. Это составляет 4 уравнения, одно для энергии и 3 для импульса.

Однако для многих систем сохранение плотности энергии тривиально следует из сохранения импульса. Например, для тензора энергии электромагнитного напряжения$\nabla_\mu T_{\rm EM}^{\mu\nu}=J_\mu F^{\mu\nu}$. Энергетическая часть это$J_\mu F^{\mu0}=-\vec{E}\cdot\vec{J}$, а космическая часть$J_\mu F^{\mu j}=-(\rho \vec{E} + \vec{J}\times\vec{B})$. Взяв скалярное произведение$-\vec{J}\cdot(\rho \vec{E} + \vec{J}\times\vec{B})$урожаи$\rho$умножить на временную составляющую, поэтому потеря энергии уже определяется потерей импульса.

Для частиц это также верно: мощность, передаваемая частице, равна произведению скорости на силу.

Является ли это общим свойством$\nabla_\mu T^{\mu\nu}$, что часть энергии следует из части импульса? Может ли кто-нибудь указать мне ссылку, объясняющую это? Если нет, может ли кто-нибудь указать мне на встречный пример?

PS: я заметил несколько статей, которые, кажется, ограничивают сохранение энергии связью с сохранением импульса, чтобы обеспечить «интегрируемость», хотя я не совсем понимаю, как они связаны или обязательно ли они связаны.

РЕДАКТИРОВАТЬ :

То, как я это сформулировал, было плохим. Вероятно, не имеет смысла говорить «следует ли сохранение энергии из сохранения импульса», поскольку в разных системах отсчета они смешиваются по-разному. Скорее, я должен сказать$\nabla_\mu T^{\mu\nu}$дают 3 независимых уравнения или 4 ? Основываясь на опыте, я хочу сказать 3, а не 4. Два приведенных выше примера имеют только 3 независимых уравнения (и без особой работы обобщаются на тензорные уравнения с некоторым тождеством ограничений, которое удаляет 4-е уравнение).

Для задач с жидкостью в общей теории относительности оказывается, что существует только 3 независимых уравнения. Возьмем, к примеру, тензор энергии напряжения идеальной жидкости:

$T_{\rm pf}^{\mu\nu}=(\epsilon+p)u^\mu u^\nu - p g^{\mu\nu}$

Есть 3 степени свободы$u^\mu$потому что он должен удовлетворять тождеству$u_\mu u^\mu=-1$. Плотность частиц — это еще одна степень свободы для каждой точки пространства-времени, но существует ограничение сохранения количества частиц, которое дает другое ограничение. Чтобы получить корректные уравнения движения, необходимо также уравнение состояния, связывающее давление/энергию с числом частиц. Таким образом, чтобы получить корректные уравнения движения, должно быть только 3 независимых уравнения движения.

Также см. http://adsabs.harvard.edu/abs/1991A%26A...252..651G , где они разрабатывают уравнения Эйнштейна в сферическом симметричном пространстве-времени. Они прямо утверждают, что одно из динамических уравнений движения избыточно. В конце раздела 5 статьи: «Обратите внимание, что... можно определить плотность энергии в жидкой системе отсчета,$e$, либо с помощью уравнения состояния (5), либо по знанию$\mathcal{E}$через уравнение (10). Эти два значения абсолютно одинаковы при условии, что давление$p(s,n_B)$, который появляется в уравнении. (25) для$\mathcal{E}$, термодинамически согласуется с$e(s,n_B)$, т.е. что$p$подчиняется уравнению (6)». Уравнение (6) в ссылке — это всего лишь первый закон термодинамики.

Итак, перефразируя:

Во всех практических обстоятельствах, о которых я знаю,$\nabla_\mu T^{\mu\nu}$дает только 3 независимых уравнения, 4-е из которых избыточно. Так ли это или есть ситуации, когда это не так?