Сомнение относительно определения тензора энергии-импульса

Это может помочь придумать пример. Простым примером является пыль, а именно совокупность частиц фиксированной массы покоя, покоящихся по отношению друг к другу, и мы можем рассматривать однородную пыль, поэтому они расположены на одинаковом расстоянии друг от друга.

Если это единственное, что есть в нашей Вселенной, то в системе пыли нет импульса или напряжения, а энергия — это просто энергия покоя, поэтому плотность массы и плотность энергии просто пропорциональны.

Итак, это наш пример. Теперь давайте посмотрим на тензор энергии напряжения. У нас есть$T^{\mu\nu}$как поток четырехимпульсной$p^{\mu}$по поверхности постоянной$x^{\nu}$. Поверхность постоянной$x^0=ct$представляет собой поверхность постоянной$t$. Поток - это вещь для каждой области. Таким образом, вы можете представить себе немного площади/объема в$t=const$плоскость/гиперплоскость, скажем, прямоугольник/коробка с размером$\Delta x \Delta y \Delta z$, если коробка больше, вы получите больше потока. Мы можем провести мировые линии частиц и сосчитать, сколько из них пронзает этот кусок$t=const$гиперповерхность, и когда кусок достаточно мал, результат пропорционален размеру объема. Таким образом, эта константа пропорциональности является плотностью частиц. Если мы умножим это на массу, приходящуюся на одну частицу, мы теперь будем считать массу, которая пронзает эту часть$t=const$поверхности, а константа пропорциональности – массовая плотность. Если мы умножим это на$c^2$, мы теперь считаем энергию, которая пронзает эту часть$t=const$поверхности, а константа пропорциональности – плотность энергии.

Это число, которое говорит нам, насколько$p^0$составляющая пробитого куска поверхности постоянной$x^{\nu}$разделить на размер куска. Почему это называется потоком?

Потоки – это (вещь/площадь)/время. Если настроить поверхность$x^1=const$то вы можете сделать кусок этой поверхности с помощью$\Delta t$, и$\Delta y$и$\Delta z$и посмотреть, сколько из вашей вещи попадает в кусок$x^1=const$поверхность внутри вашего патча, и она, очевидно, пропорциональна продолжительности патча (должна поражать в пределах временного интервала) и площади патча. Таким образом, ставка на площадь является мерой константы пропорциональности между тем, сколько человек пронзило кусок$x^1=const$поверхность и «объем»$\Delta t \Delta y \Delta z$части.

Так что флюс - это версия, когда у вас есть "объем"$\Delta t \Delta y \Delta z$за штуку, и плотностью (вещей на объем$\Delta x \Delta y \Delta z$) это имя, когда у вас есть кусок$t=const$поверхность. По праву это одна и та же концепция. Поэтому мы либо называем их обеими плотностями, либо называем их обоими потоками, либо называем их плотностью-потоком или плотностью-потоком.

Это называется потоком, потому что это то, что вы умножаете на «объем».$\Delta t \Delta y \Delta z$чтобы получить сколько штуки пробило ваш кусок гиперповерхности$x^1=const$. Когда «объем» является фактическим объемом$\Delta x \Delta y \Delta z$затем исторически мы называли эту константу плотностью до того, как узнали, что пространство-время законно.

Признавая, что поток - это скорость на единицу площади, и что это обобщается на плотность для$t=cosnt$гиперповерхности - это все, что вам нужно, чтобы понять это. Теперь вы можете делать поток частиц, поток массы, поток энергии и т.д.

редактировать

Вот что такое поток и плотность, и это одно и то же понятие. Давайте рассмотрим ваши конкретные вопросы один за другим:

$T^{00}$должен быть поток энергии через пространство, не так ли?

Нет,$T^{00}$поток энергии через поверхность$t=const$, или правильнее

$$\int\int\int_{t=const}T^{00}dx^1dx^2dx^3,$$ должен дать вам, сколько энергии прошло через ваш регион, поэтому локально $T^{00}$является константой пропорциональности, которая масштабируется $\Delta x \Delta y \Delta z$до небольшой энергии. Исторически мы назвали бы это плотностью энергии, но в релятивистской физике мы называем это потоком, чтобы признать, что в принципе нет никакой разницы между этой константой и константой, на которую вы умножаете $\Delta t \Delta y \Delta z$чтобы увидеть, сколько вещей проходит через площадь $\Delta y \Delta z$в интервале времени $\Delta t$.

Я думаю, что не понимаю, здесь используется слово «поток».

Поток - это константа пропорциональности, которую вы умножаете на$\Delta t \Delta y \Delta z$чтобы увидеть, сколько вещей проходит через площадь$\Delta y \Delta z$в интервале времени$\Delta t$, все на поверхности$x=const$. Таким образом, чтобы быть справедливым ко всем направлениям пространства-времени, вы можете выбрать любую поверхность, например$dx^{\nu}=const$а затем взять$c\Delta t \Delta x \Delta y \Delta z/ \Delta x^{\nu}$количественно определить, какая часть этой бесконечной поверхности$dx^{\nu}=const$у вас есть и константа пропорциональности, которую вы умножаете$c\Delta t \Delta x \Delta y \Delta z/ \Delta x^{\nu}$называется потоком.

Однако все источники, на которые я смотрел, говорят о том, что поток энергии через пространство будет плотностью энергии, что совсем не соответствует приведенному выше уравнению.

Интеграл с$dxdydz$выглядит точно так же, как вы интегрируете плотность и плотность на$t=const$поверхность в точности является потоком для$dx^{\nu}=const$поверхность для частного случая, когда$\nu=0$.

Если$T^{00}$должна была быть плотность энергии$\rho$, не будет ли разумнее изменить определение тензора энергии напряжения так, чтобы:

Четыре импульса$p^{\mu}$это поток$T^{\mu\nu}$через поверхность постоянной$dx^{\nu}$.

ХОРОШО. Иногда люди называют поток скоростью, единицей на единицу площади за время или единицей на единицу объема. Но иногда они называют интегрированную вещь потоком. Это прискорбно. Спутать эти два понятия — все равно, что спутать энергию и плотность энергии. Тензор энергии-импульса сообщает вам скорость, объемное количество:

$$p^{\mu}=\int\int\int_{t=const} T^{\mu 0} dx dy dz.$$

Вместо того, чтобы выбрать$t=const$поверхности и посмотреть, сколько$p^\mu$пересек его, вы можете выбрать$x=const$поверхность и получить:

$$p^{\mu}=\int\int\int_{x=const} T^{\mu 1} cdt dy dz.$$

Или вы можете выбрать$y=const$поверхность и получить:

$$p^{\mu}=\int\int\int_{y=const} T^{\mu 2} cdt dx dz.$$

Или вы можете выбрать$z=const$поверхность и получить:

$$p^{\mu}=\int\int\int_{z=const} T^{\mu 3} cdt dx dy.$$

В каждом случае интеграл говорит вам, насколько$p^\mu$пересекает вашу гиперповерхность. И оказывается, этого достаточно для обработки любой гиперповерхности, в частности, если вы выберете любую поверхность, которая локально выглядит плоской, вы можете комбинировать эти ставки на площадь (или плотность)$T^{\mu 0}$,$T^{\mu 1}$,$T^{\mu 2}$, и$T^{\mu 3}$чтобы узнать, сколько$p^\mu$течет по вашей произвольной поверхности.