Вычисление четырехимпульса по тензору энергии-импульса

Вы извлекаете вектор энергии-импульса из плотности напряжения-энергии-импульса путем интегрирования по пространственно-подобной 3-поверхности (тогда как интегрирование по времениподобной поверхности даст потоки импульса). Если ваша пространственноподобная поверхность определяется условием$t=\text{const}$, это означает интегрирование первого столбца$T_{\mu0}$.

Это может помочь рассмотреть задействованные инвариантные геометрические объекты, а не только их координатные представления:

Для точечных частиц импульс является ковектором

$$p_\mu\mathrm dx^\mu$$ Для сплошных сред (полей и жидкостей) мы должны повысить это до плотности импульса $$\rho_\mu\mathrm dx^\mu\otimes\mathrm dV$$ где $$\mathrm dV = \mathrm dx\wedge\mathrm dy\wedge\mathrm dz$$ является трехмерным элементом объема. Это больше не инвариантный объект, так как изменение кадра будет примешиваться. $$\mathrm dt\wedge\mathrm dx\wedge\mathrm dy\qquad \mathrm dt\wedge\mathrm dx\wedge\mathrm dz\qquad \mathrm dt\wedge\mathrm dy\wedge\mathrm dz$$ Таким образом, по чисто геометрическим соображениям вектор энергии-импульса должен быть преобразован в тензор $$T_{\mu\nu}\mathrm dx^\mu\otimes\star\mathrm dx^\nu$$ где мы представили элементы поверхности через их векторы нормалей по двойственности Ходжа.