Сохранение энергии и общая теория относительности

Энергия в общей теории относительности

Сохранение энергии возникает из-за инвариантности относительно переносов во времени, и в общем случае этого не будет. В общей теории относительности у нас есть аналог,

однако это не означает, что энергия сохраняется, потому что нельзя привести выражение к интегральной форме, как обычно можно при применении теоремы Нётер к теориям поля, где мы могли бы определить сохраняющийся ток$\partial_\mu j^\mu = 0$и сохраняющийся заряд,

Местонахождение

Можно определить псевдотензор Ландау-Лифшица$\tau_{\mu\nu}$который приписывает энергию напряжения гравитационному полю, так что,

откуда можно определить импульс$P^\mu$и угловой момент$J^{\mu\nu}$. Однако измененная энергия напряжения и$\tau_{\mu\nu}$само по себе не имеет геометрического, свободного от координат значения. Он может исчезнуть в одной системе координат и не исчезнуть в другой.

Беда сводится к тому, что гравитационную энергию нельзя локализовать. Для электромагнетизма можно говорить об области пространства-времени с некоторой плотностью энергии из-за электромагнитного поля, которое отвечает за искривление и изменение проходящих через него линий мира.

В силу принципа эквивалентности локально всегда можно определить систему координат, в которой гравитационное поле обращается в нуль, а значит, говорить о локальной плотности гравитационной энергии не имеет смысла.

Альтернативные определения

Тем не менее, существуют дополнительные аналоги энергии и других величин гамильтонового формализма в общей теории относительности, которые иногда полезны, хотя с ними есть проблемы, как упоминалось выше, такие как зависимость от координат или другие неоднозначности. Одним из выражений является квазилокальная энергия, определяемая как

где$B$является границей пространственной гиперповерхности$\Sigma$, с$\sigma$и$k$метрическая и внешняя кривизна соответственно. Вклады от плоского пространства обычно должны вычитаться, и в этом есть неоднозначность из-за двух возможных признаков нормали.

Если мы параметризуем систему координатой$\lambda$для пути в пространстве состояний действие системы равно

Для классической истории

то есть энергия на границе$\lambda''$минус изменение классического действия за счет увеличения конечного граничного времени,$t(\lambda'') = t''.$Выражение для квазилокальной энергии в общей теории относительности как раз и есть ближайший аналог этого уравнения Гамильтона-Якоби.

Для получения более подробной информации и поучительного обсуждения сохранения энергии в общей теории относительности см. « Квазилокальная энергия в общей теории относительности» Д. Брауна и Дж. В. Йорка в тексте « Математические аспекты классической теории поля 132 » AMS.

Нет, в общей теории относительности энергия не всегда сохраняется. Невозможно определить энергию изолированной системы как функцию состояния системы таким образом, чтобы полная энергия и импульс сохранялись, когда какие-либо 2 системы объединяются или движутся по гиперболической орбите, и определение упрощается до определения в специальной теории относительности для низкая масса и плотность. Электромагнитное поле не может напрямую воздействовать на гравитационное поле, но может ускорять частицы, которые, в свою очередь, воздействуют на гравитационное поле, а в отсутствие материи электромагнитное поле не может воздействовать на гравитационное поле. Согласно статье в Википедии «Теорема об отсутствии волос»., наблюдаемое состояние черной дыры полностью описывается ее массой, зарядом и угловым моментом. Электрическое поле не может ускорить заряженную черную дыру, потому что за пределами ее горизонта событий нет материи, которая могла бы ускорять ее и, в свою очередь, воздействовать на ткань пространства за пределами горизонта событий, поэтому в общей теории относительности энергия не всегда сохраняется.