Означает ли (спонтанное) нарушение симметрии дальний порядок и наоборот?

Question

Означает ли (спонтанное) нарушение симметрии дальний порядок и наоборот?

Физика
конденсированное вещество
фаза перехода
нарушение симметрии
корреляционные функции
статистическая механика

СРС

Кристаллические твердые тела имеют дальний порядок (где симметрия нарушена), а жидкости имеют только ближний порядок (где симметрия не нарушена). У ферромагнетиков есть дальний магнитный порядок, а у парамагнетиков его нет. Верно и обратное, например, при переходе Костерлица — Таулеса нет нарушения симметрии и нет дальнего порядка (но квазидальнего). Под дальним порядком я понимаю, что ниже какой-то критической температуры $T_c$ двухточечная корреляционная функция параметра порядка (плотности) становится постоянной (не зависящей от положения).

Это общая характеристика? Другими словами, обязательно ли дальний порядок означает нарушение симметрии? И обязательно ли нарушение симметрии подразумевает дальний порядок?

Иван Веленик

Нарушение симметрии подразумевает наличие дальнего порядка (подходящего типа). Но дальний порядок может существовать без нарушения симметрии.

СРС

" дальний порядок может существовать без нарушения симметрии " Можете ли вы привести пример, что вы имеете в виду?

Иван Веленик

Хорошо, в качестве тривиального примера рассмотрим следующий вариант модели Изинга с дополнительным трехчастичным членом:

H = - \sum_{i \sim j} σ_{i} σ_{j} - h \sum_{i} σ_{i} - ϵ \sum_{i \sim j \sim k} σ_{i} σ_{j} σ_{k}

$H=-\sum_{i\sim j}\sigma_i\sigma_j - h\sum_i \sigma_i - \epsilon\sum_{i\sim j\sim k}\sigma_i\sigma_j\sigma_k$ , где

\sim

$\sim$ означает «ближайшие соседи». Этот гамильтониан не имеет внутренней симметрии, когда

ϵ

$\epsilon$ отличен от нуля. Но можно доказать, что для любого малого

ϵ > 0

$\epsilon>0$ и любой достаточно большой температуре можно найти значение

h

$h$ так что существует дальний порядок (наличие двух гиббсовских состояний с положительной, соответственно отрицательной, намагниченностью).

Иван Веленик

Если вы хотите знать, как анализировать такого рода системы, этому посвящена целая математическая теория: теория Пирогова-Синая. См., например, главу 7 этой книги .

СРС

@YvanVelenik Поскольку я студент-физик, ссылка на вашу книгу для меня слишком техническая.

Иван Веленик

Не обязательно (я тоже был студентом-физиком). Мы написали книгу, имея в виду не только математиков, но и продвинутых студентов-физиков...

СРС

@YvanVelenik Хорошо. Тем не менее, это слишком сложно, и мне нужно время, чтобы пройти через это. Спасибо за ссылку.

Иван Веленик

Отлично, надеюсь, вам понравится, как только вы увидите, что на самом деле это не так уж и сложно. Конечно, я бы не советовал начинать с главы 7.

Норберт Шух

Вы ищете строгий ответ - т.е. какие аспекты этого можно доказать? Или вы ищете за этим «типичную» интуицию? Кроме того, вы определяете SSB и LRO в первую очередь? (Я имею в виду, что существуют четкие определения, но многие физики даже используют их как синонимы — однажды коллега спросил меня «что вы вообще имеете в виду», когда я указал, что это априорно разные понятия.)

Рубен Верресен

Во-вторых, @NorbertSchuch: возможны разные ответы в зависимости от определения SSB и LRO. ОП должен добавить желаемое определение (или явно указать, что он (она) будет доволен любым определением, которое может предпочесть ответчик). Соответственно, если считать LRO «строковых ордеров», то есть явные контрпримеры предполагаемой эквивалентности.

Норберт Шух

@RubenVerresen Ну, если бы я выбрал любое определение, которое хочу, я бы просто выбрал одно и то же для обоих. Это чрезвычайно упростило бы доказательство. (В любом случае есть четкие концепции; даже более ясные для состояний Гиббса, чем для основных состояний.) --- Я не уверен, что совершенно справедливо считать порядки строк; проблема даже без того невероятная хитрая.

дэнгаку

В качестве примера рассматривается вариант модели Изинга (7.1.1 в книге Ивана). Иван сказал, что этот гамильтониан не имеет внутренней симметрии, когда ϵ не равно нулю. Я вижу, что эта модифицированная модель теряет глобальную симметрию с переворотом спина, очевидную симметрию, когда

ϵ = 0

$\epsilon=0$ . Тем не менее, можно ли гарантировать отсутствие "всякой внутренней симметрии"? Любую классическую спиновую модель естественно отождествить со специальной квантовой моделью, введя все матрицы Паули,

x, y, z

$x,y,z$ . Тогда любой

A = A^{*}

$A=A^\ast$ такой, что

[H, A] = 0

$[H, A]=0$ создает симметрию для

H

$H$ . Таких симметрий много.

дэнгаку

В 7.1.1 Иван упомянул единственно возможные основные состояния

η^{+}

$\eta^{+}$ ,

η^{-}

$\eta^{-}$ которые отображаются друг на друга с помощью глобальной симметрии переворота. Но случай основного состояния, как известно, является исключительным. Я предполагаю, что для состояний теплового равновесия (определяемых условием DLR) такая ситуация вряд ли имеет место. Не могли бы вы дать свой ответ о соотношении между LRO и SSB для случая теплового равновесия при положительной температуре?

Ответы (1)

Означает ли (спонтанное) нарушение симметрии дальний порядок и наоборот?

Нарушение симметрии подразумевает наличие дальнего порядка (подходящего типа). Но дальний порядок может существовать без нарушения симметрии.
" дальний порядок может существовать без нарушения симметрии " Можете ли вы привести пример, что вы имеете в виду?
Хорошо, в качестве тривиального примера рассмотрим следующий вариант модели Изинга с дополнительным трехчастичным членом: $H=-\sum_{i\sim j}\sigma_i\sigma_j - h\sum_i \sigma_i - \epsilon\sum_{i\sim j\sim k}\sigma_i\sigma_j\sigma_k$ , где $\sim$ означает «ближайшие соседи». Этот гамильтониан не имеет внутренней симметрии, когда $\epsilon$ отличен от нуля. Но можно доказать, что для любого малого $\epsilon>0$ и любой достаточно большой температуре можно найти значение $h$ так что существует дальний порядок (наличие двух гиббсовских состояний с положительной, соответственно отрицательной, намагниченностью).
Если вы хотите знать, как анализировать такого рода системы, этому посвящена целая математическая теория: теория Пирогова-Синая. См., например, главу 7 этой книги .
@YvanVelenik Поскольку я студент-физик, ссылка на вашу книгу для меня слишком техническая.
Не обязательно (я тоже был студентом-физиком). Мы написали книгу, имея в виду не только математиков, но и продвинутых студентов-физиков...
@YvanVelenik Хорошо. Тем не менее, это слишком сложно, и мне нужно время, чтобы пройти через это. Спасибо за ссылку.
Отлично, надеюсь, вам понравится, как только вы увидите, что на самом деле это не так уж и сложно. Конечно, я бы не советовал начинать с главы 7.
Вы ищете строгий ответ - т.е. какие аспекты этого можно доказать? Или вы ищете за этим «типичную» интуицию? Кроме того, вы определяете SSB и LRO в первую очередь? (Я имею в виду, что существуют четкие определения, но многие физики даже используют их как синонимы — однажды коллега спросил меня «что вы вообще имеете в виду», когда я указал, что это априорно разные понятия.)
Во-вторых, @NorbertSchuch: возможны разные ответы в зависимости от определения SSB и LRO. ОП должен добавить желаемое определение (или явно указать, что он (она) будет доволен любым определением, которое может предпочесть ответчик). Соответственно, если считать LRO «строковых ордеров», то есть явные контрпримеры предполагаемой эквивалентности.
@RubenVerresen Ну, если бы я выбрал любое определение, которое хочу, я бы просто выбрал одно и то же для обоих. Это чрезвычайно упростило бы доказательство. (В любом случае есть четкие концепции; даже более ясные для состояний Гиббса, чем для основных состояний.) --- Я не уверен, что совершенно справедливо считать порядки строк; проблема даже без того невероятная хитрая.
В качестве примера рассматривается вариант модели Изинга (7.1.1 в книге Ивана). Иван сказал, что этот гамильтониан не имеет внутренней симметрии, когда ϵ не равно нулю. Я вижу, что эта модифицированная модель теряет глобальную симметрию с переворотом спина, очевидную симметрию, когда $\epsilon=0$ . Тем не менее, можно ли гарантировать отсутствие "всякой внутренней симметрии"? Любую классическую спиновую модель естественно отождествить со специальной квантовой моделью, введя все матрицы Паули, $x,y,z$ . Тогда любой $A=A^\ast$ такой, что $[H, A]=0$ создает симметрию для $H$ . Таких симметрий много.
В 7.1.1 Иван упомянул единственно возможные основные состояния $\eta^{+}$ , $\eta^{-}$ которые отображаются друг на друга с помощью глобальной симметрии переворота. Но случай основного состояния, как известно, является исключительным. Я предполагаю, что для состояний теплового равновесия (определяемых условием DLR) такая ситуация вряд ли имеет место. Не могли бы вы дать свой ответ о соотношении между LRO и SSB для случая теплового равновесия при положительной температуре?

тпаркер · Answer 1

Есть некоторые тонкости, но ответ в основном «да» в локальных трансляционно-инвариантных системах из-за свойства кластерной декомпозиции . Эмпирически практически любая «реалистичная» физическая система удовлетворяет тому свойству, что

\underset{| Икс - у | \to \infty}{лим} [⟨ А (Икс) Б (у) ⟩ - ⟨ А (Икс) ⟩ ⟨ Б (у) ⟩] "=" 0

$\lim_{|x - y| \to \infty} \left[ \langle A(x)\, B(y) \rangle - \langle A(x) \rangle \langle B(y) \rangle \right] = 0$ для любых местных операторов

A (x)

$A(x)$ и

B (y)

$B(y)$ . Другими словами, корреляции затухают с расстоянием, поэтому ожидаемые значения далеких наблюдаемых не коррелированы. (Можно вывести этот результат из различных технических предположений о локальности.) Если

m (x)

$m(x)$ является локальным параметром порядка, нарушающим симметрию, то

⟨ m (x) ⟩ \equiv \bar{m}

$\langle m(x) \rangle \equiv \bar{m}$ постоянна в силу трансляционной инвариантности, поэтому, если мы позволим

A (x) = B (x) = m (x)

$A(x) = B(x) = m(x)$ в вышеприведенном тождестве имеем

\underset{| Икс - у | \to \infty}{лим} ⟨ м (Икс) м (у) ⟩ "=" {\bar{м}}^{2} .

$\lim_{|x - y| \to \infty} \langle m(x)\, m(y) \rangle = \bar{m}^2.$ Ненулевое значение левой части определяет дальний порядок, а ненулевое значение правой части определяет спонтанное нарушение симметрии, поэтому мы видим, что одно подразумевает другое.

Свойство кластеризации НЕ верно в этой форме для вырожденных основных состояний, что как раз и нужно в случае SSB! Кроме того, как вы определяете SSB - ваш аргумент кажется довольно запутанным! Не могли бы вы определить SSB как «если я приложу небольшое возмущение, я получу спонтанную намагниченность», а LRO как «имеются дальние корреляции»? --- Я имею в виду, откуда вообще взялось утверждение о равенстве во втором уравнении?! --- Для меня ваш ответ звучит как "это правда, потому что мы знаем, что это правда".
@NorbertSchuch (a) Свойство кластера, безусловно, сохраняется для вырожденных основных состояний, отличных от кошек, которые физически наблюдаются. (b) Я определяю SSB как «когда экспериментаторы измеряют параметр порядка, нарушающий симметрию». $m(x)$ , они находят ненулевое значение." (c) Второе равенство следует из первого.
Я не уверен, что назвал бы это «определением», так как оно очень сильно зависит от экспериментальной установки, но так оно и есть — и я думаю, что это действительно может быть тесно связано с формальным определением SSB. Хорошо, тогда: как вы определяете LRO?
@NorbertSchuch Существование локального параметра порядка, нарушающего симметрию $m(x)$ такой, что $\underset{| Икс - у | \to \infty}{лим} ⟨ м (Икс) м (у) ⟩ "=" С \neq 0.$ $\lim_{|x-y| \to \infty} \langle m(x)\ m(y) \rangle = C \neq 0.$ В отличие от SSB, это нельзя определить с помощью локальных измерений.
Но если вы посмотрите только на состояния со свойством кластеризации, это тривиально то же самое. И, таким образом, может быть определена локальными измерениями.
@tparker Спасибо за ответ. Существует ли общая формула, когда $|x-y|$ конечен (чей предел $|x-y|\to \infty$ дает ваше первое уравнение)?
@NorbertSchuch Нетривиальный факт, для проверки которого требуются нелокальные измерения, заключается в том, что физические состояния всегда экспериментально наблюдаются в отношении разложения кластера. До сих пор существуют некоторые теоретические разногласия относительно того, почему. Как только вы примете это, эквивалентность между SSB и LRO станет тривиальной (по крайней мере, в трансляционно-инвариантных системах).
@SRS Не точный, который соблюдается в целом. Поведение корреляционной функции очень зависит от системы на расстояниях, меньших или сравнимых с длиной корреляции $\xi$ . Но асимптотическая форма корреляционной функции для расстояний, намного превышающих длину корреляции, обычно представляет собой экспоненциальный спад $\sim \exp(-|x-y|/\xi)$ выше критической температуры распад по степенному закону $\sim 1/|x-y|^p$ при критической температуре и имеет вид $\sim C + \exp(-|x-y|/\xi)$ ниже критической температуры.
@tparker Тогда вы должны просто сказать, что это тривиально, и все. Следующим шагом будет объяснение эвристической связи между двумя понятиями с учетом некоторого анзаца среднего поля (= кластеризации). Но дело в том, что концепции разные: например, если вы забудете о квантовой материи и посмотрите на состояния Гиббса, LRO также наблюдается в состояниях Гиббса, которые НЕ НАРУШАЮТ симметрию. Загадка заключается в следующем: всякий раз, когда существует симметрия и состояние Гиббса имеет LRO, тогда состояние Гиббса с небольшим возмущением нарушает симметрию. (Аналогично для основных состояний конечного объема.) Это довольно нетривиальная...
... соединение, которое можно эвристически объяснить с помощью некоторых аргументов типа среднего поля, но (AFAIK) не поддается строгим оценкам. (Не говоря уже о количественной связи между значением LRO и намагниченностью.) Обратите внимание, что это не чисто математическое понятие — например, в QMC именно LRO измеряется для вычисления (предполагаемой) спонтанной намагниченности.

Означает ли (спонтанное) нарушение симметрии дальний порядок и наоборот?

СРС

Иван Веленик

СРС

Иван Веленик

Иван Веленик

СРС

Иван Веленик

СРС

Иван Веленик

Норберт Шух

Рубен Верресен

Норберт Шух

дэнгаку

дэнгаку

Ответы (1)

тпаркер

Норберт Шух

тпаркер

Норберт Шух

тпаркер

Норберт Шух

СРС

тпаркер

тпаркер

Норберт Шух

Норберт Шух

Спонтанное нарушение симметрии при конечной температуре TTT: как описывается состояние в зависимости от TTT?

Как объяснить БЭК невзаимодействующего бозона при 2-м квантовании? Как спонтанно нарушить U(1)U(1)U(1)-симметрию свободного бозона?

Как строго доказать, что состояние суперпозиции нестабильно в случае спонтанного нарушения симметрии

Почему неаналитичность функции свободной энергии подразумевает фазовый переход? И какова его связь с другими свободными энергиями «более высокого уровня»?

Почему теплоемкость не расходится при фазовом переходе Костерлица-Таулесса (КТ)?

Мода Голдстоуна в O(N)O(N)O(N) (нелинейная модель σσ\sigma)

Фазовые переходы первого и второго рода

Почему магнит Гейзенберга нарушает симметрию O(3) вместо SU(2)?

Точная формулировка теоремы Мермина – Вагнера.

Что запрещает кубический член в разложении функционала свободной энергии с внешним полем H≠0H≠0H\neq 0?