Парадокс степеней свободы твердого тела.

Вы продублировали ограничения, потому что, если какая-либо частица ограничена во всех трех измерениях со всеми другими частицами, это ограничивает все частицы. Количество ограничений равно 3 (N - 1).

Для примера возьмем три частицы a, b и c. Если a фиксировано относительно b, а также фиксировано относительно c, то b и c фиксированы относительно друг друга без необходимости введения новых ограничений.

Каждая частица, составляющая механическую систему, может быть локализована тремя независимыми переменными, обозначающими точку в пространстве.

Вы можете выбрать любую частицу в твердом теле для начала и переместить ее куда угодно, задав три независимые переменные, необходимые для указания ее местоположения.

Выбирая вторую частицу, вы выбираете еще один набор из трех независимых переменных, чтобы указать ее местоположение, очевидным из которых являются сферические координаты с началом в первой частице. Первое ограничение заключается в том, что радиус является константой, поэтому остаются две независимые переменные.

Выбирая третью частицу, вы имеете полную свободу вращать ее на любой угол вокруг оси, проходящей через первую и вторую частицы, что дает только одну степень свободы, а две другие переменные ограничены.

Для остальных (N-3) частиц все три координаты ограничены.

Таким образом, общее количество степеней свободы для твердого тела равно 3+2+1 = 6 с ограничениями 0+1+2+3(N-3) = (3N-6).

Так что степеней свободы становится 3N - (3N-6) = 6

Проблема в том, что вы дважды считаете многие свои ограничения. Если (вектор) смещения между частицами A и B и между B и C фиксированы, то фиксировано и смещение между A и C. Поэтому ограничение на расстояние между A и C избыточно, и его нельзя посчитать отдельно.

Это можно было бы сделать с помощью математической индукции. Начните с четырех частиц, расстояние между которыми не меняется. Простой перебор покажет, что степеней свободы всего шесть. Теперь добавьте еще одну частицу, которая имеет фиксированные расстояния относительно других частиц. Неограниченных степеней свободы, которые эта частица привносит в систему, нет. Мы можем сделать то же самое для системы из N частиц. Это не сформулировано строго на математическом языке, но содержит принцип доказательства.

Как уже указывали другие, вы переоцениваете ограничения. Я попытаюсь объяснить это с помощью этой иллюстрации.

В случае$N=2$, положения двух точек уже определяют расстояние между ними, поэтому ограничений нет.

В случае$N=3$, Есть$3$ограничения: фиксированное расстояние между одной точкой и двумя другими (черным) и оставшееся фиксированное расстояние (синим). За$N=4$, логика по сути та же.

Все становится иначе с$N=5$. Что вы делали, так это считали связь между двумя точками, которые не связаны на картинке, как ограничение. Причина, по которой вы не можете этого сделать, заключается в том, что положение этих точек уже определено тремя линиями, которые с ними связаны. К такому же выводу можно прийти$N>5$.

Эти ограничения не являются независимыми.

Вы дважды считаете здесь. Возьмем три частицы. Вы считаете$\binom{3}{2}=3$ФО, верно? Но фиксация векторного расстояния между частицами 1 и 2, а затем фиксация его между 2 и 3 включает фиксацию его между 1 и 3. Математически,$\vec{d}_{1,3}=\vec{d}_{1,2}+\vec{d}_{2,3}$

Более простой способ подсчета степеней свободы выглядит следующим образом. Для молекулы с N частицами число степеней свободы равно$3N$. Из них 3 будут трансляционными. Для точечной молекулы (т. е. одиночного атома) вычтите 3, так как она имеет 0 вращательных степеней свободы. Для совершенно линейной молекулы вычтите 1, так как она имеет 2 вращательных степени свободы (вращение вокруг своей оси не имеет значения). Обычно мы пренебрегаем колебательными степенями свободы (при нормальных температурах). Вибрационные степени свободы — это любые оставшиеся степени свободы. Таким образом, у нас всегда есть всего 3N степеней свободы, из которых мы можем считать только поступательные (3) и вращательные (2 или 3) степени свободы. Смотрите таблицу здесь .