Площадь горизонта событий Керра-Ньюмана

В геометро-гауссовских единицах с$G$,$c$, и$\frac{1}{4\pi\epsilon_0}$равной 1, метрика Керра-Ньюмена для черной дыры с массой$M$, угловой момент$J=aM$, и заряжать$Q$является

$$\begin{align} ds^2= &-\left(1-\frac{2Mr-Q^2}{r^2+a^2\cos^2{\theta}}\right)dt^2 +\frac{r^2+a^2\cos^2{\theta}}{r^2-2Mr+a^2+Q^2}dr^2\\ &+(r^2+a^2\cos^2{\theta)}\,d\theta^2 +\left(r^2+a^2+\frac{a^2(2Mr-Q^2)\sin^2{\theta}}{r^2+a^2\cos^2{\theta}}\right)\sin^2{\theta}\,d\phi^2\\ &-\frac{2a(2Mr-Q^2)\sin^2{\theta}}{r^2+a^2\cos^2{\theta}}\,dt\,d\phi \end{align}$$

в координатах Бойера-Линдквиста$(t,r,\theta,\phi)$. (Когда$Q$равен нулю, это сводится к форме Википедии для метрики Керра . Форма Википедии для метрики Керра-Ньюмана эквивалентна приведенной выше, но кажется менее простой.)

The $g_{rr}$компонента метрического тензора бесконечна, когда знаменатель$r^2-2Mr+a^2+Q^2$равен нулю. Это происходит по двум радиальным координатам,

$$r_\pm=m\pm\sqrt{m^2-a^2-Q^2}.$$

Горизонт событий находится на$r_+$. Нам нужно найти площадь этой поверхности. 2D метрика на поверхности$t=$постоянный и$r=r_+$является

$$ds_+^2= (r_+^2+a^2\cos^2{\theta)}\,d\theta^2 +\left(r_+^2+a^2+\frac{a^2(2Mr_+-Q^2)\sin^2{\theta}}{r_+^2+a^2\cos^2{\theta}}\right)\sin^2{\theta}\,d\phi^2$$

и элемент площади на этой поверхности равен

$$\begin{align} dA_+&=\sqrt{\det{g_+}}\,d\theta\,d\phi\\ &=\sqrt{(r_+^2+a^2\cos^2{\theta})\left(r_+^2+a^2+\frac{a^2(2Mr_+-Q^2)\sin^2{\theta}}{r_+^2+a^2\cos^2{\theta}}\right)}\sin{\theta}\,d\theta\,d\phi\\ &=\sqrt{(r_+^2+a^2\cos^2{\theta})(r_+^2+a^2)+a^2(2Mr_+-Q^2)(1-\cos^2{\theta})}\sin{\theta}\,d\theta\,d\phi\\ &=\sqrt{(r_+^4+a^2r_+^2+2Ma^2r_+-a^2Q^2)+a^2(r_+^2-2Mr_++a^2+Q^2)\cos^2{\theta}}\sin{\theta}\,d\theta\,d\phi. \end{align}$$

Удобно, что коэффициент$\cos^2{\theta}$в квадратном корне обращается в нуль по определению$r_+$,

$$r_+^2-2Mr_++a^2+Q^2=0,$$

и, используя это уравнение, исключить$M$в первом члене квадратного корня то, что осталось под квадратным корнем, становится полным квадратом$(r_+^2+a^2)^2$. Таким образом, элемент площади упрощается до тривиального интегрирования.

$$dA_+=(r_+^2+a^2)\sin{\theta}\,d\theta\,d\phi.$$

Интеграция$\theta$от$0$к$\pi$и более$\phi$от$0$к$2\pi$дает площадь горизонта событий,

$$A_+=4\pi(r_+^2+a^2)=4\pi\left(2M^2-Q^2+2M\sqrt{M^2-a^2-Q^2}\right).$$