Плотность энергии квантово-механического ансамбля

Как определить плотность энергии данной системы? Я видел, что оператор плотности

р   "="   опыт ⁡ ( − β ЧАС ^ ) тр ( опыт ⁡ ( − β ЧАС ^ ) ) .

Что это означает и как это связано с чистыми и неполяризованными состояниями системы? Например, для системы релятивистских частиц со спином 1/2 плотность полностью неполяризованного пучка равна о   "="   1 2 | ↑ ⟩ ⟨ ↑ | + 1 2 | ↓ ⟩ ⟨ ↓ | или

о   "="   ( 1 2 0 0 1 2 )

Являются ли диагональные элементы вероятностью того, что внутри ансамбля определенная частица окажется в этом спиновом состоянии? Если да, то как это влияет на плотность энергии системы? Я не совсем уверен, каким будет гамильтониан в этом случае. Но я думаю, что спин вверх и вниз - это собственные состояния с собственными значениями λ ± "=" ± ℏ 2 , так что можно предположить, поскольку мы говорим о проекциях спина, что собственные значения энергии будут пропорциональны λ ±

р   "="   1 е − β ℏ 2 + е β ℏ 2 ( е β ℏ 2 0 0 е − β ℏ 2 )

где β является обратной температурой, заданной выражением β "=" 1 к Т , однако я не уверен, какой будет константа пропорциональности, поскольку я предполагаю, что гамильтониан будет пропорционален о г и не равно ему.

Можно ли увидеть пример или получить объяснение того, что происходит? Я имею в виду «Современную квантовую механику» Сакураи и «Квантовую механику» Брансдена и Джоахейна.

Ответы (1)

Ага, пример о "=" 1 2 | ↑ ⟩ ⟨ ↑ | + 1 2 | ↓ ⟩ ⟨ ↓ | вы описываете полностью неполяризованный ансамбль для одного спина. 1 / 2 система, а коэффициенты 1 / 2 определенно представляют вероятности того, что частица будет находиться в состоянии либо с верхним, либо с отрицательным спином. Теперь я объясню смысл оператора плотности р "=" е Икс п ( − β ЧАС ) / Z — ( 1 ) где Z ≡ т р ( е Икс п ( − β ЧАС ) ) и его применение к одиночному спин- 1 / 2 системы, включая ее связи с чистым и неполяризованным состояниями.

Вообще говоря, уравнение (1) является оператором плотности для равновесной системы ЧАС , его физический смысл становится более ясным, если переписать его в виде р "=" е Икс п ( − β Е 1 ) Z | 1 ⟩ ⟨ 1 | + е Икс п ( − β Е 2 ) Z | 2 ⟩ ⟨ 2 | + . . . (вы можете доказать эту формулу самостоятельно), где | н ⟩ являются нормированными энергетическими собственными состояниями ЧАС с собственными значениями Е н . Здесь коэффициенты е Икс п ( − β Е н ) Z дать вероятности того, что система находится в состоянии | н ⟩ .

Теперь рассмотрим два крайних случая, которые физически важны:

(1) Нижний температурный предел ( β → ∞ ) , р "=" 1 Д | 1 ⟩ ⟨ 1 | + 1 Д | 2 ⟩ ⟨ 2 | + . . . + 1 Д | Д ⟩ ⟨ Д | , где | 1 ⟩ , | 2 ⟩ , . . . , | Д ⟩ являются Д вырожденные основные состояния ЧАС .

(2) Верхний предел температуры ( β → 0 ) , р "=" 1 г | 1 ⟩ ⟨ 1 | + 1 г | 2 ⟩ ⟨ 2 | + . . . + 1 г | г ⟩ ⟨ г | , где г - размерность гильбертова пространства системы, | 1 ⟩ , | 2 ⟩ , . . . , | г ⟩ являются энергетическими собственными состояниями.

Теперь примените приведенные выше формулы к вашему примеру, пусть ЧАС "=" о г — гамильтониан одиночного спин- 1 / 2 система. Тогда его собственные энергетические состояния равны | ↑ ⟩ и | ↓ ⟩ , его основное состояние просто | ↓ ⟩ ( так вот г "=" 2 , Д "=" 1 ). Итак, для нижнего температурного предела имеем р "=" | ↓ ⟩ ⟨ ↓ | ( чистое состояние, о котором вы упомянули ); а для предела высоких температур имеем р "=" 1 2 | ↑ ⟩ ⟨ ↑ | + 1 2 | ↓ ⟩ ⟨ ↓ | ( совершенно неполяризованные состояния, о которых вы упомянули ).

Надеюсь, мой ответ будет полезен для вас.

Плотность энергии квантово-механического ансамбля
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v