Вычисление вероятности измерения одного атома водорода в заданных состояниях

В настоящее время я прохожу курс статистической механики и немного застрял в том, как рассчитать вероятность атома водорода в заданном состоянии. Я опубликую точный вопрос, над которым я работаю, и мою работу до этого момента, и отмечу, где именно я запутался. Любая помощь оттуда будет оценена по достоинству.

Давайте посмотрим на матрицу плотности для квантовой системы, которая хорошо описывается базисом с тремя состояниями. Примером может служить электрон атома водорода, который образуется со спином вверх и представляет собой линейную комбинацию трех 2 п состояния. Двумя стандартными основаниями для атома водорода являются декартовы состояния, заданные выражением | 2 п Икс ⟩ , | 2 п у ⟩ , | 2 п г ⟩ , и хорошее л г состояния углового момента, | 2 п + 1 ⟩ , | 2 п 0 ⟩ , | 2 п − 1 ⟩ . Они связаны унитарным преобразованием:

| 2 п ± 1 ⟩ "=" ∓ 1 2 [ | 2 п Икс ⟩ ± | 2 п у ⟩ ] | 2 п 0 ⟩ "=" | 2 п г ⟩
Можно приготовить пучок атомов водорода так, чтобы с вероятностью 1 / 4 атом готовится в | 2 п Икс ⟩ состояние, с вероятностью 1 / 4 он готовится в | 2 п у ⟩ состояние, с вероятностью 1 / 4 он готовится в | 2 п г ⟩ состояние, и с вероятностью 1 / 4 он готовится в | 2 п + 1 ⟩ состояние.

Я застрял на части (c), а именно:

Рассчитайте вероятность измерения одного атома водорода в следующих состояниях. | 2 п Икс ⟩ , | 2 п у ⟩ , | 2 п г ⟩ , | 2 п + 1 ⟩ , | 2 п 0 ⟩ , | 2 п − 1 ⟩ .

Я нашел, что мой оператор плотности:

р "=" 1 4 | 2 п Икс ⟩ ⟨ 2 п Икс | + 1 4 | 2 п у ⟩ ⟨ 2 п у | + 1 4 | 2 п г ⟩ ⟨ 2 п г | + 1 4 | 2 п + 1 ⟩ ⟨ 2 п + 1 |

Я читал, что вероятность измерения частицы в определенном состоянии определяется выражением Тр [ п р ] , где п является оператором проектирования. После этого я попытался вычислить вероятность нахождения атома водорода в | 2 п Икс ⟩ состояние. Отсюда, п будет обозначать вероятность.

п | 2 п Икс ⟩ "=" Тр ( | 2 п Икс ⟩ ⟨ 2 п Икс | р ) "=" Тр ( | 2 п Икс ⟩ ⟨ 2 п Икс | [ 1 4 | 2 п Икс ⟩ ⟨ 2 п Икс | + 1 4 | 2 п у ⟩ ⟨ 2 п у | + 1 4 | 2 п г ⟩ ⟨ 2 п г | + 1 4 | 2 п + 1 ⟩ ⟨ 2 п + 1 | ] ) "=" Тр ( [ 1 4 − 1 4 2 ] | 2 п Икс ⟩ ⟨ 2 п Икс | )

Я не знаю, как оценить след отсюда. Я понимаю, что след — это просто сумма диагональных элементов матрицы, но я не понимаю, как это применимо здесь. Я хочу сказать, что решение 1 4 − 1 4 2 с Тр ( | 2 п Икс ⟩ ⟨ 2 п Икс | ) "=" 1 по полноте, но я не уверен в этом ответе.

Любое руководство будет оценено, спасибо.

Предполагая, что все остальное вы сделали правильно, тогда да, вы можете извлечь постоянный множитель из Tr, чтобы решением был этот множитель. См. свойства трассировки, en.wikipedia.org/wiki/Trace_(linear_алгебра)#Properties.
@N.Steinle, но правильно ли я оцениваю Тр ( | 2 п Икс ⟩ ⟨ 2 п Икс | ) ?
Вероятность < 2 п Икс | р | 2 п Икс >
@RogerJBarlow Итак, мне вообще не нужно использовать трассировку здесь?
Трассировка должна дать то же самое, но вы неправильно рассчитали 3-ю строку из 2-й строки. Сделай это правильно.
@CosmasZachos Я заметил, что, переделывая расчет перед тем, как сдать домашнюю работу, я просто забыл изменить его здесь. Но спасибо, что заметили ошибку. Я поменяю его, когда у меня будет свободная минутка.

Ответы (2)

Короче говоря, след X:

∑ к < п к | Икс | п к >
Как вы сказали, след представляет собой сумму по диагональному элементу, а элемент матрицы в QM равен А я Дж =< п я | А | п Дж > .

Ответ Исмасу был довольно стандартным, но, чтобы избежать путаницы, вы можете отказаться от всех этих причудливых обозначений и просто рассматривать их в простых состояниях углового момента с помощью л "=" 1 и л "=" 1 , 0 , − 1 . Это общеизвестная матрица, и большую часть времени ее преподавали, когда профессор представлял эксперимент Штерна-Герлаха. ( https://quantummechanics.ucsd.edu/ph130a/130_notes/node247.html ) (Технически один был вращательным, другой был орбитальным, но на самом деле они не имеют большой разницы с точки зрения обобщенного углового момента.) Затем погуглите След оператора плотности, ответ должен быть очевиден.

Вычисление вероятности измерения одного атома водорода в заданных состояниях
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v