Выражение в замкнутой форме для оператора плотности гармонического осциллятора в тепловом равновесии

Я ищу замкнутую форму оператора плотности квантового гармонического осциллятора в тепловом равновесии, желательно в позиционном представлении. Я вполне уверен, что это похоже на когерентное состояние, но я не смог найти его ни в одной из моих книг или интернет-источников, которые я просматривал. Если мне не изменяет память, то для нее также существует функция Вигнера в замкнутой форме, поэтому я ожидаю, что также существует простое чисто позиционное представление. Но, пожалуйста, сообщите мне, если я ошибаюсь, если нет закрытой формы.

Краткий вывод также приветствуется.

РЕДАКТИРОВАТЬ

Я написал, что мне удалось сделать. Оператор плотности для канонического ансамбля с$\beta = \frac{1}{k_BT}$должно быть$\hat \rho = \exp(-\beta \hat H)$.Используя разрешение тождества, мы можем записать его как

$$\begin{aligned} \hat \rho &=\exp(-\beta \hat H)\sum_{n=0}^\infty |n\rangle \langle n|\\ &= \sum_{n=0}^\infty \exp(-\beta E_n)|n\rangle \langle n|\\ &=\sum_{n=0}^\infty \exp\left(-\beta \left(\frac{1}{2}\hbar\omega(n+1) \right) \right)|n\rangle \langle n|\\ \end{aligned}$$ Собственные функции гармонического осциллятора равны $$\langle x | n \rangle =\phi_n(x) = \frac{1}{\sqrt{2^nn!}} \left(\frac{m\omega}{\pi\hbar}\right)^{\frac{1}{4}}\exp(-\frac{m\omega x^2}{2\hbar})H_n\left(\frac{m\omega}{\hbar} x \right)$$

Позиционное представление оператора плотности тогда

$$\begin{aligned} \langle x|\hat \rho|x'\rangle &= \sum_{n=0}^\infty \exp\left(-\beta \left(\frac{1}{2}\hbar\omega(n+1) \right) \right)\langle x|n\rangle \langle n|x'\rangle\\ &= \sum_{n=0}^\infty \exp\left(-\beta \left(\frac{1}{2}\hbar\omega(n+1) \right) \right)\phi_n(x) \phi^*_n(x')\\ \end{aligned}$$ Можно ли упростить эту сумму?