Плотность состояний для произвольного соотношения дисперсии

выводя искомое уравнение для плотности состояний, мы напоминаем, что поверхность, по которой мы интегрируем, является поверхностью постоянной энергии в обратном пространстве, которая обозначается$S(e)$, где$e$представляет собой трехмерное дисперсионное соотношение

мы знаем, что число состояний между поверхностями$S(e)$и$S(e + de)$дается интегралом.

$$D(e)\, \mathrm{d}e = \int_{S(e)} \frac{\mathrm{d}S}{(2\pi )^3} \mathrm{d}q_\perp(\boldsymbol q)$$ если мы линейно разложим дисперсионное соотношение $e$как $e+\mathrm{d}e = e + |\nabla_\boldsymbol q e(\boldsymbol q)|\mathrm{d}q_\perp(\boldsymbol q)$где $\boldsymbol q$вектор, $\mathrm{d}q_\perp (\boldsymbol q)$- перпендикулярное расстояние между поверхностями и $\mathrm{d}q_\perp(\boldsymbol q)= \frac {\mathrm{d}e}{|\nabla_\boldsymbol q e(\boldsymbol q)|}$. это ведет к $$D(e) = \frac{1}{(2\pi)^3} \int_{S(e)} \frac {\mathrm{d}S}{|\nabla_\boldsymbol q e(\boldsymbol q)|}$$ что является искомым уравнением для плотности состояний.