Операторы - как мотивировать, они должны быть линейными? Является ли этот комментарий подсказкой? [дубликат]

Есть ли способ ретроспективно мотивировать, что наблюдаемые должны быть представлены

  1. линейные операторы
  2. в гильбертовом пространстве?

В частности, в принятом ответе на этот вопрос есть намек на что-то . Там автор пишет, что

«[...] и поскольку эти коммутаторы удовлетворяют тождеству Якоби, они могут быть представлены линейными операторами в гильбертовом пространстве».

  • Это правда? Если наблюдаемую можно записать как коммутатор (например, три координаты углового момента), следует ли из этого автоматически, что она соответствует некоторому линейному оператору? Если да, то каким образом / это теорема с названием?

Спасибо за дальнейшие подсказки и за все подсказки до сих пор. Квантовая механика все еще очень странная для меня, дополнительная мотивация для одного из постулатов была бы правкой: приятно .

Если вы хотите, чтобы я уточнил, пожалуйста, так и скажите.

Этот вопрос: «Как появились операторы» кажется связанным, но ответ не помогает, поскольку он начинается с постулатов. Мой вопрос касается возможных мотивов, которые можно было бы дать для одного из постулатов.

История изменений, часть 1: раньше этот вопрос был довольно общим, он также задавал вопрос «откуда взялись операторы», на который здесь есть очень хороший ответ .

Для полноты/История изменений, часть 2: Другой подход может заключаться в использовании теоремы Вигнера о том, что любой оператор симметрии в гильбертовом пространстве является либо линейным унитарным, либо антилинейным антиунитарным (и тогда можно было бы перейти от операторов симметрии к их генераторам и выяснить, что они соответствуют наблюдаемым). Первоначально вопрос заключался также в том, работает ли и эта линия аргументации. Но, наверное, об этом рассказано в исторических источниках, приведенных здесь и в комментариях.

Человеком, разработавшим математический формализм КМ, был фон Нейман (Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik). Я могу ошибаться, но я думаю, что он также дал название «гильбертовому пространству». До него представления об этом были довольно спутанными
фон Нейман формализовал учебник Дирака по QM 1930 года, доступный бесплатно. Дирак работал с конечномерными аналогиями, предложенными матричной механикой Гейзенберга. Вопрос дублирует Как появились операторы квантовой механики? вопрос по hsm SE и Как появились операторы? на этом СЭ.
@Conifold Второе из ваших упоминаний, которое я упомянул в своем вопросе, указав, почему это не ответ. В первом (я все еще читаю) есть хорошие ссылки на историческое развитие. Что мне бы хотелось, так это реальные мотивы, о которых можно было бы подумать (я изменю название вопроса). Пожалуйста, не комментируйте только после прочтения заголовка.
Тогда я обязательно еще раз посмотрю книгу фон Неймана. Однако вторая часть моего вопроса очень специфична. Я надеюсь, что кто-то знает, что человек имел в виду. (А поскольку в предисловии к книге фон Неймана она описывается как «исторически важная, но устаревшая, может даже содержать ошибки» — вполне вероятно, что в ней может и не быть ответа.)
Что вы подразумеваете под «настоящими мотивами, которые можно было бы придумать»? Книга Дирака находится в свободном доступе в Интернете, вы можете найти там то, что он думал. Расширение от матриц кажется довольно мотивированным, поэтому вам придется быть более конкретным в отношении того, что вы имеете в виду. Что касается второго вопроса, у большинства SE есть политика по одному вопросу на каждый вопрос, чтобы разрешить ответы разумной направленности и длины. Вы должны выделить его в отдельный вопрос.
@Conifold Вы правы, и на часть моего вопроса «что привело к этому» вы уже ответили в другом посте. Действительно интересно, проголосовал бы, если бы мог. Так что, пожалуй, лучше всего сократить вопрос до второй части.
Судя по этому вопросу, вы можете зарегистрироваться на hsm в любом случае. В правом верхнем углу есть большая синяя кнопка «Присоединиться к этому сообществу». Она должна автоматически связать ее с другими вашими учетными записями SE, когда вы ее нажимаете.
Если рассматривать общие вероятностные теории, например, в подходе квантовой логики (основное введение см., например, на plato.stanford.edu/entries/qt-quantlog/), что означает формализацию общей логической структуры вероятностных утверждений о физических системах, можно обнаружить ряд гипотетически правдоподобных возможностей, среди них одна, эквивалентная формализму гильбертова пространства. Afaik (в соответствии с приведенной выше ссылкой) не известно элементарного объяснения, выделяющего эту конкретную структуру. Существуют и другие подходы, подобные «Квантовой теории из пяти разумных аксиом» Л. Харди.
@AdomasBaliuka Значит, это всего лишь один из множества способов «записать» квантовую механику? Может быть, в других легче разобраться, если этот мне не подходит :) Спасибо!
@KyleKanos Лучше?
@dasWesen нет, у вас все еще есть всевозможные нелепые замечания по поводу правок, внесенных в пост. Избавьтесь от них полностью, составив связный набор утверждений, тогда я буду счастлив.
@dasWesen все, что вы можете придумать, — это всего лишь один из способов записать это. Возможности, которые я собирался не описывать статистикой квантовых экспериментов. Одной из возможных логических структур является реальная квантовая механика, основанная на реальных гильбертовых пространствах. Он имеет сложные свойства запутанности и полностью исключается экспериментом как вероятностная теория экспериментальных результатов. Это интересно только математикам. Эксперименты могут и выделяют Стандартный квантовый формализм. Просто у нас нет для этого теоретического обоснования (что не должно быть проблемой)

Ответы (1)

С физической точки зрения естественно предположить, что можно соответствующим образом математически манипулировать наблюдаемыми. Должна быть возможность суммировать их, умножать и масштабировать, чтобы получить новые наблюдаемые. Кроме того, часто бывает удобно распространить понятие наблюдаемого на сложные объекты, для которых также можно выполнить «комплексное сопряжение» (абстрактно называемое инволюцией).

Комплексные числа или функции с комплексными значениями допускают описанные выше манипуляции и могут рассматриваться как наблюдаемые (а последние есть в классических теориях). Однако для описания квантовых систем такие наблюдаемые также должны быть некоммутативными , поскольку эффекты, обусловленные некоммутативностью, наблюдаются экспериментально.

Математически объекты с указанными выше свойствами образуют инволютивную алгебру , абелеву, если они коммутируют, и неабелеву, если нет. Существует теорема Гельфанда и Наймарка, основанная на конструкции Гельфанда, Наймарка и Сегала, которая гласит следующее.

Каждая *-алгебра изоморфна алгебре линейных операторов, действующих в гильбертовом пространстве

Поэтому естественно представлять квантовые наблюдаемые в виде линейных операторов. Для классических (абелевых) наблюдаемых теорема показывает, что операторы в этом случае являются операторами умножения и что абелевы алгебры также могут быть представлены как алгебры комплекснозначных функций, действующих на подходящем топологическом пространстве. Последнее представление обычно выбирается для классических теорий.

Операторы - как мотивировать, они должны быть линейными? Является ли этот комментарий подсказкой? [дубликат]
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v