Почему ΔxΔpxΔxΔpx\Delta x \Delta p_x линейно возрастает с nnn для стационарных состояний?

У меня есть эвристическое обоснование, но нет доказательств.

Можно рассматривать отдельные квантовые состояния с неопределенными положением и импульсом как распределение по фазовому пространству . Квазиклассически каждое квантовое состояние занимает площадь$h$этого пространства, как здесь оправдано . Этот факт часто используется в статистической механике и в основном эквивалентен приближению ВКБ.

Поэтому, если применяется квазиклассический предел, первый$n$возбужденные состояния должны кумулятивно покрывать около$nh$фазового пространства. В симметричных случаях, описанных в вопросе, фазовое пространство каждого состояния «сидит поверх» предыдущих состояний, так что$n^{th}$государство имеет$nh$фазовое пространство само по себе, т.е.

$$\Delta x_n \Delta p_n \approx nh$$ как видно из примеров выше. Таким образом, в общем, мы должны ожидать этого линейного поведения. Это будет происходить всякий раз, когда распределения фазового пространства просто увеличиваются в зависимости от $n$.

Однако это происходит только для достаточно «хороших» потенциалов. Можно найти контрпримеры, которые нарушают неравенство из-за измененного масштабирования фазового пространства, как показано в ответе Эмилио Писанти .

Я думаю, что knzhou прав в своем ответе относительно основной причины, по которой это так. Большинство этих систем исследуются в области WKB , а это означает, что, как правило, повышение на одно собственное энергетическое состояние означает, что доступная область фазового пространства этого состояния увеличивается на$\hbar$. Вторая половина аргумента заключается в том, что для простых систем, представленных на выставке, форма доступной области фазового пространства в основном не зависит от размера области или растет довольно предсказуемым образом путем простого масштабирования на одном или обоих. оси. Это масштабирование также повлияет$\Delta x$и$\Delta p$, и сделает это таким образом, что их произведение$\Delta x\,\Delta p$также увеличивается на$\hbar$.

Это понимание также указывает путь к поиску систем, которые не подчиняются этой эвристике, где форма кривой фазового пространства изменяется с энергией, и особенно где дробь

$$\frac{\text{volume of phase space at energy }E\leq E_n}{\text{volume of phase-space square box that contains said volume}}$$ изменяется в зависимости от $E_n$.

Чтобы получить подобную систему, я искал системы, в доступных областях которых возникают «всплески» по мере увеличения энергии, и самой простой из тех, что я мог придумать, были системы вида

$$H=(p-x^3)^2.$$

С этим нужно немного повозиться, чтобы начать работать - в итоге я использовал$H=p^2-px+x^6$- и как функция$p$и$x$, этот гамильтониан выглядит как асимметричная чаша, которую мы пытаемся создать:

Этот гамильтониан в его квантовой форме$\hat H=\hat p^2-\frac12(\hat p\hat x+\hat x\hat p) + \hat x^6$, вероятно, поддается какой-либо аналитической обработке, но самый простой способ — это просто грубо перебить некоторые числа, чтобы получить представление о структуре. В Mathematica это выглядит примерно так

J = 1000; L = 10.; dx = (2 L)/(2 J);
T=-1/2(DiagonalMatrix[Table[1, {2 J}], 1]+DiagonalMatrix[Table[1, {2 J}], -1] - 
    DiagonalMatrix[Table[2, {2 J + 1}]])/dx^2;
P=-I(DiagonalMatrix[Table[1, {2 J}], 1]-DiagonalMatrix[Table[1, {2 J}], -1])/dx;
X = DiagonalMatrix[Table[j dx, {j, -J, J}]];

а потом

SortBy[Eigensystem[2 T - (X^3.P + P.X^3)/2 + X^6]\[Transpose], First]\[Transpose]

Спектр выглядит примерно так

с собственными функциями, выглядящими так для первых 20,

и так для собственных функций 280-300,

(который начинает выглядеть немного рваным, но все еще имеет довольно хорошо разрешенные колебания). Это приводит нас к произведению неопределенности$\Delta x\,\Delta p$, рассчитанный как

Table[
 Chop[Sqrt[v\[Conjugate].X.X.v] Sqrt[v\[Conjugate].P.P.v]]
 , {v, vecs[[1 ;; 300]]}
 ]

который выглядит так:

И это, наконец, не похоже на линейное поведение. Конечно, есть еще что исследовать, но общий ответ кажется отрицательным.