Почему энергии бесконечной квадратной ямы уменьшаются с увеличением ширины ямы?

В бесконечном колодце кинетическая энергия$p^2/2m$единственная величина, которая имеет значение, потому что$V=0$внутри колодца. С

Если яма узкая, волновые функции будут иметь большую кривизну, поскольку они должны вмещать целое число синусоидальных полупериодов внутри узкой ямы. Наоборот, если яма широкая, те же растворы будут иметь сравнительно гораздо меньшую кривизну и, следовательно, будут иметь меньшую энергию.

Стандартная эвристическая история основана на принципе неопределенности Гейзенберга.$\Delta x \cdot \Delta p \geq \hbar / 2$. Чем ниже неопределенность положения частицы, тем больше неопределенность ее импульса (и наоборот). Если частица заключена в коробку, то неопределенность ее положения заведомо не может быть больше размера$L$из коробки, так$\Delta p \geq \hbar / (2L)$. Увеличение размера ящика позволяет ему больше расширяться и увеличивает неопределенность его положения, тем самым уменьшая разброс его импульсов относительно среднего значения.$p = 0$, поэтому частица «замедляется» и ее энергия уменьшается.

Вы показали, что$E_n \propto \frac{1}{a^2}$. Это физическое объяснение того, почему энергия уменьшается, когда$a$увеличивается. В КМ обычно бесполезно искать аналогии того, как «движутся» частицы, как в классической механике.

На самом деле так и должно быть, поскольку в$a \rightarrow \infty$предел, вам лучше восстановить квантовую механику свободной частицы, движущейся по реальной линии. Если вы определите$k_n = n\pi/a$, можно видеть, что для$a$очень большой, разрыв между последовательными$k_n$становится очень маленьким, и поэтому в$a\rightarrow \infty$предел, он в основном становится непрерывной переменной. Таким образом, получается энергетический спектр$E_k = \hbar^2 k^2/2m$с волновыми функциями$\psi(x) \propto sin(kx)$, обычная волна свободных частиц.