Почему в этой задаче работа, совершаемая пружиной, не равна линейному интегралу силы пружины по ее перемещению?

В этом примере мы должны предположить, что пружина прикреплена к блоку таким образом, что позволяет свободно вращаться нижнему концу пружины, как если бы он был шарнирно прикреплен к блоку. В этом случае пружина будет прилагать усилие в продольном направлении, так что удлинение, создаваемое пружиной, будет равно разнице между ее конечной и начальной длинами. Это даст нам правильное удлинение, потому что, если нижний конец пружины может свободно вращаться, то произведенное удлинение и усилие пружины всегда будут оставаться на одной линии. Так что нет необходимости использовать интеграцию.

В формуле$W= \frac {kx^2}{2}$,$x$это удлинение пружины, а не смещение блока. Поскольку пружина поворачивается и может свободно вращаться, даже если смещение блока составляет некоторый угол с силой, удлинение пружины всегда параллельно силе. Таким образом, предположения, сделанные при выводе формулы, остаются в силе.

Ответ можно получить и тем методом, который вы пробовали, однако ошиблись в выводе. Из рисунка я получил уравнение

По закону Гука мы моделируем пружину как создающую консервативную силу. Из-за этого мы можем рассчитать работу, проделанную пружиной, глядя только на ее конечное состояние, независимо от истории, которая привела к этому состоянию. Это похоже на поиск работы, проделанной автомобилем на трассе американских горок. Вы можете выразить его скорость через$t$, возьмите скалярное произведение с силой тяжести и проинтегрируйте, или вы можете просто взять чистое изменение высоты, умноженное на его вес. Тем не менее, вы можете найти полезным упражнение, чтобы решить проблему с пружиной «сложным способом», чтобы понять, как выполняются эти вычисления. Ваше объяснение того, как вы это сделали, имеет несколько проблем.

После небольшого наблюдения я обнаружил, что dx равно -0,4dθ.

Было бы полезно, если бы вы показали, как вы это вычислили. Если$x$это горизонтальное расстояние, которое блок прошел с самого начала, у меня есть это, если$s$- исходная длина пружины, тогда$s+\Delta s$составляет гипотенузу прямоугольного треугольника с катетами$s$и$x$, и угол$\theta$. С$\tan (\theta)$есть отношение между катетами, мы имеем$\tan (\theta) = \frac s x$, или$x = s\cot(\theta)$. Это дает$dx = -s\csc^2(\theta)d\theta$. У тебя$.4$в вашем выражении, которое соответствует$s$, но у вас нет$\csc^2(\theta)$. Вы похоже этого не заметили$\frac{d\theta}{dx}$не является постоянным относительно$x$.

Таким образом, преобразование в$\theta$становится довольно противно. Предположим, что вместо этого мы интегрируем по$l$, где$l$это общая длина пружины. Затем$s^2+x^2=l^2$и неявное дифференцирование дает нам$2sds+2xdx=2ldl$.$s$является константой, поэтому$ds = 0$. Это дает$dx = \frac l x dl$. У нас есть это$\cos (\theta) = \frac x l$, так$\cos(\theta)dx = dl$. Сейчас$\int k(\Delta s)\cos(\theta) dx$становится просто$\int k (\Delta s) dl$. С$l = s+\Delta s$,$\Delta s = l-s$, давая$\int k (l-s)dl$. Вы также можете интегрировать по отношению к$\Delta s$, но я не хотел писать$\int k (\Delta s)d(\Delta s)$.

Также несколько замечаний по MathJax: система форматирования «знает» некоторые математические термины, такие как «cos», и если поставить перед ними обратную косую черту, они будут выделены некурсивным шрифтом. Это, а также заключение в круглые скобки облегчает чтение выражений. Например, \int k(\Delta s)\cos(\theta) dx, а не \int k\Delta s cos\theta dx.