Потенциальная энергия пружин и силы тяжести и работа силы

Когда$\theta = 0$растяжение пружины равно нулю, и примите это за ноль потенциальной энергии гравитации.

Со стержнем под углом$\theta$по геометрии системы найти продолжение$x$пружины и вертикальной высоты$h$через которую прошел центр масс стержня.

Потенциальная энергия системы$V = \frac 12 k x^2 - mgh$

Дифференцировать$V$в отношении$\theta$.

$\frac {dV}{d\theta} =0$является условием равновесия и решает полученное уравнение для трех значений$\theta$, один из которых легко найти, а два других немного сложнее.

Дифференцируйте снова, чтобы получить$\frac {d^2V}{d\theta^2}$и введите три значения$\theta$решить, к какому типу равновесия относится каждое из значений$\theta$.

«Самый простой» способ решить эту проблему - использовать энергию, как это предлагают ОП и Фарчер. Начните с суммирования потенциальной энергии гравитации и пружины следующим образом:

$$E = -mg\frac{l}{2} sin\theta + \frac 12 kx^2$$

x определяется следующим соотношением (пружина всегда будет натянута):

$$x=lsin\theta+lcos\theta-l=l(sin\theta+cos\theta-1)$$

Это дает следующее уравнение для полной энергии:

$$E = -mg\frac{l}{2} sin\theta + \frac 12 kl^2(sin\theta+cos\theta-1)^2$$

Дифференциация дает:

$$\frac{dE}{d\theta} = -mg\frac{l}{2} cos\theta + kl^2(cos^2\theta-sin^2\theta-cos\theta+sin\theta)$$

(Я пришел к тому же уравнению, уравновешивая силы, так что это кажется правильным.) Где это равно нулю, это даст точки равновесия. Используя следующие соотношения:

$sin^2\theta=1-cos^2\theta$

$sin\theta=\sqrt{1-cos^2\theta}$

вышеизложенное можно переписать как:

$$0 = -mg\frac{l}{2} cos\theta + kl^2(2cos^2\theta+\sqrt{1-cos^2\theta}-cos\theta-1)$$

Это можно решить, чтобы найти$cos\theta$, но это немного сложно. Если все умножить,$cos\theta=0$выпадает как раствор, что и ожидается ($\theta=\frac\pi2$). Однако тогда остается решить кубическое уравнение для$cos\theta$, что немного неприятно (это можно решить вручную, но не похоже, что ответ будет красиво выпадать).

Это не было моей идеей весело провести ночь, поэтому я сжульничал и составил уравнение зависимости энергии от энергии.$\theta$с помощью графического инструмента:

Это выглядит правдоподобно, так как он проходит через нулевую энергию при$\theta=0$и имеет ожидаемую точку равновесия при$\theta=\frac \pi2$. Две другие точки равновесия находятся в$\theta=0.169$радиан (9,68 градуса), что является стабильным, и$\theta=0.591$радиан (33,9 градуса), что является нестабильным.

Таким образом, при 9,68 градусах существует устойчивая точка равновесия, но если вы толкнете балку дальше 33,9 градусов (нестабильно), то она упадет до следующего устойчивого равновесия при$\theta=\frac\pi2$.

Мое предположение:
$\theta = 0$может не быть равновесия, потому что если вы перестанете держать коробку А, она упадет.
в$\theta = 90$может быть нейтральным равновесием (я предполагаю, что пружина может пройти через колесо в сторону ящика А), так как пружина не натянута, а нормальная сила на ящике В уравновешивает силы гравитации (при условии, что ящик В находится в равновесии). ограничивается только горизонтальной плоскостью и не будет падать).

Теперь, если мы предположим, что пружина может проходить через колесо в сторону ящика А (другой способ взглянуть на это состоит в том, что вся струна и пружина в сборе состоят только из пружины), тогда натяжение (натяжение из-за растянутой пружины) на стороне А (вверху) будет равно натяжению в стороне В (влево). Теперь, имея это в виду,$T = F = k(x-x_0)$где x - общая длина струнно-пружинного узла, а$x_0$- нерастянутое расстояние l. Общую длину можно найти, сложив длину стороны A и длину стороны B (это просто стороны прямоугольного треугольника с гипотенузой l).

Это может быть полезной подсказкой.
Так что, если вы согласны с моей идеей, возможно, когда А падает, пружина не сжимается, а растягивается.