Зависимость от времени свободных и взаимодействующих гамильтонианов

Question

Зависимость от времени свободных и взаимодействующих гамильтонианов

Физика
гамильтониан
эволюция времени
квантовая теория поля

Окадзаки

Рассмотрим теорию взаимодействующего поля с гамильтонианом

ЧАС "=" {ЧАС}_{0} + В

$H=H_0+V$

где $H_0$ является гамильтонианом свободной теории и $V$ добавленное взаимодействие. Теперь я знаю полный гамильтониан $H$ должно быть независимым от времени. Действительно, из уравнения движения Гейзенберга имеем

я \frac{\partial}{\partial т} ЧАС "=" [ЧАС, ЧАС] "=" 0

$i\frac{\partial}{\partial t}H=[H,H]=0$

Однако, поскольку $H$ и $H_0$ обычно не езжу на работу у меня должна быть некоторая зависимость от времени в $H_0$ .

я \frac{\partial}{\partial т} {ЧАС}_{0} "=" [{ЧАС}_{0}, ЧАС] \neq 0.

$i\frac{\partial}{\partial t}H_0=[H_0,H]\neq 0.$

Например, в книгах Вайнберга и Пескина и Шредера они неявно предполагают независимость от времени $H_0$ , т.е. что

\frac{\partial}{\partial т} {ЧАС}_{0} "=" 0

$\frac{\partial}{\partial t}H_0=0$

показывая, что оператор

U (т, т_{0}) "=" е^{я {ЧАС}_{0} (т - т_{0})} е^{- я ЧАС (т - т_{0})}

$U(t,t_0)=e^{iH_0(t-t_0)}e^{-iH(t-t_0)}$

удовлетворяет уравнению Шрёдингера:

я \frac{\partial}{\partial т} U (т, т_{0}) "=" В_{я} (т) U (т, т_{0}), В_{я} (т) "=" е^{я {ЧАС}_{0} (т - т_{0})} В е^{- я {ЧАС}_{0} (т - т_{0})}

$i\frac{\partial}{\partial t}U(t,t_0)=V_I(t)U(t,t_0), \quad V_I(t)=e^{iH_0(t-t_0)}Ve^{-iH_0(t-t_0)}$

Они пишут

\frac{\partial}{\partial т} U (т, т_{0}) "=" - я е^{я {ЧАС}_{0} (т - т_{0})} (ЧАС - {ЧАС}_{0}) е^{- я ЧАС (т - т_{0})}

$\frac{\partial}{\partial t}U(t,t_0)=-ie^{iH_0(t-t_0)}(H-H_0)e^{-iH(t-t_0)}$

это то, что я ожидал бы получить, если бы у меня было $\frac{\partial}{\partial t}H_0=0$ .

Может кто-нибудь, пожалуйста, скажите мне, где я ошибаюсь? У меня есть сильное подозрение, что это сводится к тому, что я испортил различия между частными производными по времени и полными производными по времени, поэтому, возможно, мне следовало бы

\frac{\partial}{\partial т} {ЧАС}_{0} "=" 0, \frac{г}{г т} {ЧАС}_{0} \neq 0

$\frac{\partial}{\partial t}H_0=0, \quad \frac{d}{d t}H_0\neq 0$

Если это так, то я не уверен, должна ли теория Гейзенберга включать полную или частную производную (Пескин использует частную).

Прахар

Уравнения движения Гейзенберга

i \frac{d}{d t} A = [A, H] + \frac{\partial}{\partial t} A

$i \frac{d}{dt} A = [ A , H ] + \frac{\partial}{\partial t} A$ . P&S предполагают, что нет явной временной зависимости в

H_{0}

$H_0$ , значение

\frac{\partial}{\partial t} H_{0} = 0

$\frac{\partial}{\partial t} H_0 = 0$ . Однако это не означает, что

f r a c d d t H_{0} = 0

$frac{d}{dt} H_0 = 0$ что очевидно верно из-за уравнений Гейзенберга.

Окадзаки

@Prahar Прямо связанный вопрос - предположим, у нас есть ток Нётер

j^{μ}

$j^\mu$ с

\partial_{μ} j^{μ} = 0

$\partial_\mu j^\mu=0$ . Тогда сохраняющийся заряд

Q

$Q$ дается пространственным интегралом

j^{0}

$j^0$ удовлетворяет

\frac{d Q}{d t} = 0

$\frac{dQ}{dt}=0$ . Почему это имеет

\frac{d}{d t}

$\frac{d}{dt}$ Когда это было

\frac{\partial}{\partial t}

$\frac{\partial}{\partial t}$ в уравнении непрерывности?

Прахар

Q (t)

$Q(t)$ не зависит ни от какой другой переменной. Поэтому,

\frac{d Q}{d t} = \frac{\partial Q}{\partial t}

$\frac{dQ}{dt} = \frac{ \partial Q}{ \partial t}$ . В уравнении непрерывности вы говорите о плотности заряда

ρ (t, \vec{x})

$\rho(t,\vec{x})$ который зависит от нескольких переменных, поэтому вы хотите использовать частные производные.

Квантовый шепот

@Okazaki Мой первый намек (не видя указанных строк в книге) будет заключаться в том, что вычисления выполняются в изображении Шредингера, и каждый упомянутый оператор будет оператором в изображении Шредингера. Причина, по которой я думаю, что это так: а) Это заставит ваши вычисления работать (я не замечаю никаких ошибок в вычислениях с вашей стороны) б) В общем случае нет смысла брать экспоненту оператора, зависящего от времени, если не указано, в какое время вычисляется этот оператор.

Ответы (1)

Зависимость от времени свободных и взаимодействующих гамильтонианов

Уравнения движения Гейзенберга $i \frac{d}{dt} A = [ A , H ] + \frac{\partial}{\partial t} A$ . P&S предполагают, что нет явной временной зависимости в $H_0$ , значение $\frac{\partial}{\partial t} H_0 = 0$ . Однако это не означает, что $frac{d}{dt} H_0 = 0$ что очевидно верно из-за уравнений Гейзенберга.
@Prahar Прямо связанный вопрос - предположим, у нас есть ток Нётер $j^\mu$ с $\partial_\mu j^\mu=0$ . Тогда сохраняющийся заряд $Q$ дается пространственным интегралом $j^0$ удовлетворяет $\frac{dQ}{dt}=0$ . Почему это имеет $\frac{d}{dt}$ Когда это было $\frac{\partial}{\partial t}$ в уравнении непрерывности?
$Q(t)$ не зависит ни от какой другой переменной. Поэтому, $\frac{dQ}{dt} = \frac{ \partial Q}{ \partial t}$ . В уравнении непрерывности вы говорите о плотности заряда $\rho(t,\vec{x})$ который зависит от нескольких переменных, поэтому вы хотите использовать частные производные.
@Okazaki Мой первый намек (не видя указанных строк в книге) будет заключаться в том, что вычисления выполняются в изображении Шредингера, и каждый упомянутый оператор будет оператором в изображении Шредингера. Причина, по которой я думаю, что это так: а) Это заставит ваши вычисления работать (я не замечаю никаких ошибок в вычислениях с вашей стороны) б) В общем случае нет смысла брать экспоненту оператора, зависящего от времени, если не указано, в какое время вычисляется этот оператор.

любопытный разум · Answer 1

наблюдаемый $A$ явно зависит от времени, если оно зависит от времени в картине Шрёдингера. Именно эту зависимость мы имеем в виду, когда пишем $\frac{\partial A}{\partial t}$ . Это не имеет ничего общего с картиной Гейзенберга, но имеет отношение к тому, как мы определили наблюдаемое.

Уравнение движения Гейзенберга для наблюдаемых, явно зависящих от времени, имеет вид

{\frac{д}{г т} А |}_{т "=" т_{0}} "=" я [А (т_{0}), ЧАС] + {\frac{\partial А}{\partial т} |}_{т "=" т_{0}}

$\left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}A\right\vert_{t=t_0} = \mathrm{i}[A(t_0),H] + \left.\frac{\partial A}{\partial t}\right\vert_{t=t_0}$ и поэтому свободный гамильтониан

H_{0}

$H_0$ имеет

\frac{\partial}{\partial t} H_{0} = 0

$\frac{\partial}{\partial t} H_0 = 0$ но

\frac{d}{d t} H_{0} \neq 0

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} H_0 \neq 0$ поскольку он, как вы говорите, не коммутирует с полным гамильтонианом, который появляется в уравнении движения Гейзенберга.

Я думаю, что знак коммутатора может быть неправильным на этом
В теории поля и в P&S вы, как правило, работаете с картинкой взаимодействия , которая является чем-то средним между картинами Гейзенберга и Шредингера. $H=H_0+H_1$ , $A_I=e^{iH_0 t}Ae^{-iH_0 t}$ , а уравнение зависимости от времени представляет собой уравнение типа Гейзенберга. $\frac{dA_I}{dt}=i[H_0,A_I,] +\frac{\partial A}{\partial t}$ . И в этом случае $\frac{d}{dt}H_0=0$ , при условии $H_0$ не имеет явной зависимости от времени. Однако $\frac{dH_1}{dt}\neq 0$ в общем, даже если $H_1$ не имеет явной зависимости от времени.

Зависимость от времени свободных и взаимодействующих гамильтонианов

Окадзаки

Прахар

Окадзаки

Прахар

Квантовый шепот

Ответы (1)

любопытный разум

Классический стиль

угрюмый

Почему гамильтониан в КТП является генератором временной эволюции?

Уравнение Пескина и Шредера (4.26), U(t1,t2)U(t2,t3)=U(t1,t3)U(t1,t2)U(t2,t3)=U(t1,t3)U(t_1,t_2)U( t_2,t_3) = U(t_1,t_3) подразумевает, что [H0,Hint]=0[H0,Hint]=0[H_0,H_{int}] = 0?

Временная зависимость лестничных операторов в КТП

Использование формулы Дайсона в картине Шредингера

Что люди подразумевают под «состоянием, развивающимся с взаимодействующей/свободной теорией»?

Общее решение состояний зависящего от времени гамильтониана

Что означает квадратный корень из лапласиана?

Эволюция скалярного поля во времени

Являются ли они оба гамильтонианом Дирака?

Уравнение Шредингера для зависящего от времени гамильтониана и сопряжения