Являются ли они оба гамильтонианом Дирака?

Иногда я вижу это, называемое гамильтонианом Дирака:

ЧАС ^ "=" α → ⋅ п → ^ + β м ;
но, если мы возьмем плотность лагранжиана Дирака, получим соответствующую плотность гамильтониана с помощью преобразования Лежандра и проинтегрируем, то получим --- если не ошибаюсь ---
ЧАС ^ "=" ∭ р 3 Ψ ¯ ^ ( Икс ) ( − я γ я ∂ я + м ) Ψ ^ ( Икс ) г 3 Икс .

Если оба выражения равны, это будет означать

β 1 ^ "=" ∭ р 3 Ψ ¯ ^ ( Икс ) Ψ ^ ( Икс ) г 3 Икс , α я п ^ я "=" − я ∭ р 3 Ψ ¯ ^ ( Икс ) γ я ∂ я Ψ ^ ( Икс ) г 3 Икс .
Может ли это быть? Или я что-то упускаю, и эти два гамильтониана не являются одним и тем же объектом?

Вы уверены, что в системе нет ограничений?
В одном гамильтониане решение интерпретируется как волновая функция, а в другом - как классическое поле. Так что нет причин, чтобы они были одинаковыми.

Ответы (1)

Основное различие между первым и вторым выражением для гамильтониана уравнения Дирака состоит в том, что первое рассматривает уравнение Дирака как описание одной единственной частицы, тогда как второе предполагает, что Ψ ^ s — это полевые операторы (на что намекает маленькая шляпа над ними), которые действуют в пространстве Фока, которое представляет собой пространство многочастичных состояний в диапазоне от состояния вакуума (отсутствие частиц) над состоянием с одной частицей до состояний с произвольными высокими значениями. количество частиц. Пространство Фока - это краткое название пространства в «представлении числа занятий». Таким образом, второе представление гамильтониана является более общим и содержит какое-то первое выражение как частный случай.

Современный подход к уравнению Дирака предпочитает многочастичное представление, поскольку точка зрения уравнения Дирака как описания одной частицы фактически скомпрометирована возникновением состояний с отрицательной энергией/частотой. Этот вопрос фактически может быть решен, если рассматривать уравнение Дирака как описание в многочастичном пространстве, т.е. фоковском пространстве.

Спасибо, Фредерик! Как я мог увидеть этот особый случай явно? Что мне навязывать?
Чтобы увидеть это, нужно разработать операторы поля и получить выражение H с операторами рождения и уничтожения. Затем вы позволяете этому оператору воздействовать на 1-электронное состояние, и вы получаете энергию 1 частицы x 1-электронное состояние. С другой стороны, если вы подставите одночастичное решение уравнения Дирака u(p) в первое уравнение, вы снова получите энергию частицы x одночастичное решение. Оба дают одинаковый результат. Но H, построенный с полевыми операторами, также может действовать на многочастичные состояния, что делает его более общим.
Являются ли они оба гамильтонианом Дирака?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v