Есть ли простой способ найти собственные состояния оператора рождения и уничтожения в QM?

Question

Есть ли простой способ найти собственные состояния оператора рождения и уничтожения в QM?

СуперЧокия

Как я могу найти собственные состояния оператора создания и уничтожения в QM?

Моя попытка :

Такое собственное состояние будет подчиняться:

а^{†} | ψ ⟩ "=" α | ψ ⟩ .

$a^{\dagger} |\psi \rangle = \alpha |\psi \rangle.$

Мы можем расширить $|\psi \rangle$ в терминах квантовых собственных состояний SHM: $|\psi \rangle = \sum_{n=0}^{\infty} c_n |n\rangle$ .

Зная действие операции создания собственных мод квантового СГМ ( $a^{\dagger}|n\rangle = \sqrt{n+1}|n+1\rangle)$ :

а^{†} | ψ ⟩ "=" а^{†} \sum_{н "=" 0}^{\infty} с_{н} | н ⟩ "=" \sum_{н "=" 0}^{\infty} с_{н} \sqrt{н + 1} | н + 1 ⟩

$a^{\dagger} |\psi \rangle = a^{\dagger} \sum_{n=0}^{\infty} c_n |n\rangle = \sum_{n=0}^{\infty} c_n \sqrt{n+1}|n+1\rangle$

от которого государство $|0\rangle$ теперь отсутствует, поэтому он никогда не будет равен правой стороне первого выражения, $\alpha |\psi\rangle = \sum_{n=0}^{\infty} \alpha c_n |n\rangle$ .

Даниэль Санк

Оператор создания не может иметь собственных состояний. Собственные состояния оператора уничтожения называются «когерентными состояниями». Погугли это :)

Феникс87

Это неудивительно, так как

a

$a$ и

a^{†}

$a^\dagger$ не являются самосопряженными

Космас Захос

…но посмотри это …

Ответы (1)

Есть ли простой способ найти собственные состояния оператора рождения и уничтожения в QM?

Оператор создания не может иметь собственных состояний. Собственные состояния оператора уничтожения называются «когерентными состояниями». Погугли это :)
Это неудивительно, так как $a$ и $a^\dagger$ не являются самосопряженными

Даниэль Санк · Answer 1

Запишите произвольное состояние как

| Ψ ⟩ "=" \sum_{н "=" 0}^{\infty} с_{н} | н ⟩ .

$|\Psi\rangle = \sum_{n=0}^{\infty} c_n |n\rangle \,.$

Теперь применим оператор повышения

\begin{aligned} а^{†} | Ψ ⟩ & "=" а^{†} \sum_{н "=" 0}^{\infty} с_{н} | н ⟩ \\ "=" \sum_{н "=" 0}^{\infty} с_{н} \sqrt{н + 1} | н + 1 ⟩ \\ "=" \sum_{н "=" 1}^{\infty} с_{н - 1} \sqrt{н} | н ⟩ \end{aligned}

$\begin{align} a^\dagger |\Psi\rangle &= a^\dagger \sum_{n=0}^{\infty} c_n |n\rangle \\ &= \sum_{n=0}^{\infty} c_n \sqrt{n+1} |n+1\rangle \\ &= \sum_{n=1}^{\infty} c_{n-1} \sqrt{n} |n\rangle \end{align}$

Если $|\Psi\rangle$ является собственным состоянием $a^\dagger$ с собственным значением $\alpha$ тогда у нас есть

\sum_{н "=" 0}^{\infty} с_{н} | н ⟩ "=" \sum_{н "=" 1}^{\infty} с_{н - 1} \sqrt{н} | н ⟩ .

$\sum_{n=0}^{\infty}c_n|n\rangle = \sum_{n=1}^\infty c_{n-1} \sqrt{n}|n \rangle \, .$

Вы уже зашли так далеко. Действительно, единственным решением этого уравнения является $c_n=0$ для всех $n$ . Следовательно, нет собственного состояния $a^\dagger$ .

собственные состояния $a$ , которые называются «когерентными состояниями», задаются

| α ⟩ "=" е^{- | α |^{2} / 2} \sum_{н "=" 0}^{\infty} \frac{α^{н}}{\sqrt{н!}} | н ⟩ .

$|\alpha \rangle = e^{-|\alpha|^2/2}\sum_{n=0}^\infty \frac{\alpha^n}{\sqrt{n!}}|n\rangle \, .$ Вы можете легко проверить, применив

a

$a$ к

| α ⟩

$|\alpha \rangle$ что

| α ⟩

$|\alpha \rangle$ является собственным состоянием

a

$a$ .

Не могли бы вы объяснить, почему $c_{n}$ =0 для всех n, это единственное решение для случая оператора создания
@ SSP_user5275 В правой части уравнения нет $|0\rangle$ член, поэтому левая часть также не должна иметь $|0\rangle$ срок и так $c_0=0$ . Теперь рассмотрим $|1\rangle$ срок и мы получаем $c_1 = c_0 \sqrt{1} = 0$ . Повторите этот аргумент для всех терминов.

Есть ли простой способ найти собственные состояния оператора рождения и уничтожения в QM?

СуперЧокия

Даниэль Санк

Феникс87

Космас Захос

Ответы (1)

Даниэль Санк

Драко_1125

Даниэль Санк

Собственное значение оператора создания когерентного состояния [закрыто]

Эрмитово сопряжение дифференциального оператора

⟨ψ|A^|ψ⟩=⟨ψ|B^|ψ⟩⟨ψ|A^|ψ⟩=⟨ψ|B^|ψ⟩\langle\psi|\шляпа{A}|\psi\rangle = \langle\psi|\hat{B}|\psi\rangle для всех |ψ⟩|ψ⟩|\psi\rangle означает, что A^=B^A^=B^\hat{A} = \hat{ Б}?

Ожидаемые значения операторов LxLxL_x и LyLyL_y в собственных состояниях LzLzL_z

Проблемы с пониманием упражнения Нильсена и Чуанга

Собственные значения, эрмитовы операторы и наблюдаемые в квантовой механике

Правильно ли я говорю, что лестничные операторы имеют комплексные собственные значения?

Коммутатор положения и импульса

Нахождение T†T†T^\dagger, где Tφ(x)=φ(x+a)Tφ(x)=φ(x+a)T\varphi(x)=\varphi(x+a)

Сопряжение сопряженного оператора