Унитарное преобразование собственных состояний

Я не уверен, что вы имеете в виду под "$a$и$b$уникальны », но ясно, если$A=UBU^\dagger$и$U$унитарный,$A$и$B$имеют одинаковые собственные значения, но это не означает$U$ничего не делает.

Например, матрицы Паули$\sigma_{x,y,z}$все имеют одинаковые собственные значения, связаны унитарным преобразованием$U$, но точно разные. Преобразование$U$является изменением базы, поэтому, если$B$изначально диагональ, скажем

$$B=\sigma_z=\left(\begin{array}{cc} 1&0 \\ 0&-1\end{array}\right)$$ и $U=\left(\begin{array}{cc} \cos\theta/2&-\sin\theta/2\\ \sin\theta/2 &\cos\theta/2\end{array}\right)$затем $$U\sigma_zU^{\dagger}=\cos\theta\sigma_z+\sin\theta \sigma_x$$ все еще имеют собственные значения $\pm 1$но очевидно $U$что-то сделал .
Конечно, собственные состояния больше не $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$и $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)$.

Я интерпретирую ваше заявление об уникальности как требование,

каждое собственное пространство либо$A$и$B$имеет измерение$1$.

Так что если$a$является собственным значением$A$и$A|a\rangle =a|a\rangle$, для$|a\rangle \neq 0$, то любой другой собственный вектор с тем же собственным значением$a$имеет форму$c|a\rangle$для каждого$c\in \mathbb C$,$c\neq 0$. Если рассматривать только нормированные собственные векторы,$c$имеет форму$e^{i \theta}$для каждого$\theta \in \mathbb R$.

Предполагая, что спектры указанных операторов являются чистоточечными спектрами , мы имеем спектральные разложения (сумма понимается в сильной операторной топологии, но здесь она совершенно неуместна, и вы можете смело интерпретировать все последующие на алгебраическом уровне)

$$A = \sum_{a \in {\cal A}} a |a\rangle\langle a| \tag{1}$$ и $$B = \sum_{b\in {\cal B}} b |b\rangle\langle b| \:.$$ где я использовал нормализованные собственные значения и ${\cal A}=\sigma(A)$, ${\cal B}=\sigma(B)$(до точек накопления) — спектры операторов.

С другой стороны

$$A = UBU^\dagger$$ подразумевает $$\sum_{a \in {\cal A}} a |a\rangle\langle a| = \sum_{b \in {\cal B}} b U|b\rangle\langle b|U^\dagger\:.$$ То есть $$A= \sum_{b \in {\cal B}} b|\psi_b\rangle \langle \psi_b|\tag{2}$$ где $$|\psi_b\rangle := U|b\rangle\:.$$

Важнейший результат теперь состоит в том, что

для данного самосопряженного оператора (с точечным спектром) спектральное разложение единственно .

Таким образом, сравнивая (1) и (2), заключаем, что

(я)${\cal A}= {\cal B}\:,$

так что мы можем перестроить разложение$A$так

$$A= \sum_{a \in {\cal A}} a|\psi_a\rangle \langle \psi_a|\:,$$

(ii)$|a\rangle \langle a| = |\psi_a\rangle \langle \psi_a|$так что, поскольку каждый вектор нормализован

$$|\psi_a\rangle = e^{i\theta_a}|a\rangle\quad \mbox{for some $\theta_a \in \mathbb R$}\:.$$ нет возможности определить фазы $e^{i\theta_a}$, так как нормированные собственные векторы определены с точностью до фазы, но мы вольны зафиксировать их все $e^{i\theta_a}=1$.

Подчеркну, что (i) и (ii) — это максимум, который вы можете получить из имеющейся в вашем распоряжении исходной информации о том, что собственные пространства одномерны и что унитарная эквивалентность$A=UBU^\dagger$держит.

Ты видишь это$U$имеет действие (ложно, что «на самом деле он ничего не делает»). На самом деле он меняет собственные векторы , но оставляет фиксированным спектр операторов.

Отбрасывая гипотезы об одномерных собственных пространствах, но сохраняя требование чисто точечного спектра, (i) остается в силе ввиду уникальности спектрального разложения, которое теперь читается

$$A = \sum_{a \in {\cal A}} a P_a$$ где $P_a = \sum_{k=1}^{\dim E_a} |a,k\rangle \langle a,k|$является ортогональным проектором на собственное пространство $E_a$из $A$с собственным значением $a$и векторы $|a,k\rangle$, меняющийся $k=1,\ldots, \dim E_a$, образуют ортонормированный базис этого собственного пространства.

Ну и преобразование подобия для обратимого (не обязательно унитарного) оператора$^1$ $U$ в общем случае меняет собственные пространства, но не меняет спектр собственных значений$\{a_1, a_2,\ldots, \}=\{b_1,b_2,\ldots\}$. Следовательно, было бы нелогично утверждать, что все собственные значения$\{a_1,a_2, \ldots, b_1,b_2,\ldots\}$для обоих$A$и$B$разные, если это то, что ОП подразумевает под тем, что все они уникальны. Не имеет значения, являются ли отдельные спектры вырожденными или нет.

--

$^{1}$В этом ответе мы будем игнорировать тонкости с неограниченными операторами , доменами, самосопряженными расширениями и т.д.