Почему исчезающая энергетическая щель указывает на фазовый переход?

Я предполагаю, что ваша теория описывается гамильтонианом$H$с непрерывным параметром$x$. Фазовый переход означает, что основное состояние резко (а не плавно) изменится при некотором значении этого параметра. Если выражение гамильтониана гладко по параметру$x$, основное состояние тоже должно быть гладким.

Но есть исключение: если два наименьших собственных значения пересекаются, природа основного состояния изменяется, и вы можете получить разрыв. В точке, где они пересекают энергетическую щель (разница между двумя низшими энергиями), исчезает.

Действительно простой пример, а не физический:$H = \begin{pmatrix} 1 & x \\ x & 1 \end{pmatrix}$имеет собственные значения$1-x$и$1+x$, собственные векторы$\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$и$\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$. Когда$x = 0$энергетическая щель исчезает, и основное состояние меняется внезапно, в противном случае оно гладкое (постоянное).

Единственная релевантная шкала длины, близкая к фазовому переходу, — это корреляционная длина$\xi$. По размерному анализу массовый разрыв подчиняется$m_G \sim \xi^{-1}$, а при фазовом переходе второго рода обычно ожидаем$\xi \to \infty$, подразумевая беззазорную систему.

Более точно можно сказать, что на больших расстояниях двухточечная корреляционная функция ведет себя так (во всех «разумных» случаях, которые мы обычно видим)

$$\frac{e^{-r/\xi}}{r^{d-2+\eta}}$$ Это фактически определяет длину корреляции. Согласно приведенному выше аргументу, длина корреляции является обратной массовой щелью, поэтому отсутствие щели обычно подразумевает степенные корреляции, которые сигнализируют о фазовых переходах.

Простейшим примером этого является точно решаемый безмассовый свободный скаляр. В случае массивности теория описывается лагранжианом$(\partial \phi)^2 + m^2 \phi^2$где я пренебрег всеми константами. Коррелятор легко найти точно, и он затухает как$e^{-mr}$раз сила, как$r \to \infty$. Когда массовый разрыв исчезнет, ​​мы достигнем критичности.