Почему длина корреляции расходится в критической точке?

Вы должны смотреть не на длину корреляции системы, а на корреляцию флуктуаций. Если T >> Tc, спины ориентированы случайным образом и масштаб флуктуаций очень мал. По мере приближения к Tc флуктуации становятся более коррелированными, а масштаб увеличивается до бесконечности. Аналогично для ферромагнетика при температурах много меньших, чем Tc, все спины выровнены. Флуктуации при 0 < T << Tc имеют короткие корреляционные длины. По мере нагревания система по-прежнему в основном упорядочена, но количество спинов, направленных в противоположную сторону, увеличивается, а вместе с ними и корреляционная длина этих флуктуаций.

Я думаю, ваша проблема в том, что длина корреляции$\xi$не следует интерпретировать как корреляцию в смысле статистики, например

$\frac{<(s(x)-\lt s(x) \gt)(s(y)-<s(y)>)>}{\sqrt{<\left( s(x)-\lt s(x)>\right)^2 \lt(s(y)-\lt s(y)>)^2 \gt)}}$,

а определяется через$<(s(x)-< s(x)>)(s(y)-<s(y)>)>=e^{-|x-y|/\xi}$

(см. например ( https://physics.stackexchange.com/q/59690 ).

Предположим, что при нулевой температуре все спины «заморожены», идеально выровнены и, следовательно, идеально коррелированы (в статистическом смысле). Однако, поскольку$s(x)=<s(x)>$и$s(y)=<s(y)>$в этом случае следует, что$\xi=0$.

Что касается второй части вопроса: критические точки — это фазовые переходы, соответствующие фиксированным точкам в ренормгрупповом потоке. Это означает, что процесс последовательного разбиения спиновой решетки на блоки, их интегрирования и построения нового гамильтониана между этими блоками достиг фиксированной точки: форма гамильтониана больше не меняется, только его параметры (связи) получить повторную настройку с любой дальнейшей операцией вращения блока. Это, в свою очередь, означает, что система утратила свою масштабируемость и стала безмасштабной. Поэтому, если бы я сделал две фотографии материала, одну размером в один дюйм, а другую размером в один микродюйм, вы бы не смогли сказать мне, какая из них какая. Единственный способ описать это математически — принять степенной закон, который дает$\xi(T) \sim (T-T_c)^{-\nu}$где$T_c$критическая температура и$\nu$- размерность масштабирования, которая не обязательно должна быть целочисленной. Следовательно, длина корреляции расходится в критической точке.