Принцип наименьшего действия гласит, что тело движется так, что величина действия является стационарным (часто минимальным). Принцип написан как
Напротив, квантовый принцип действия Швингера между входным и выходным состоянием
Вопрос 2. Наименьшее действие подразумевает, что реальная траектория особенная: она отличается от всех остальных, потому что имеет минимальное/стационарное действие. В каком смысле принцип Швингера выделяет эволюцию актуального состояния из всех остальных?
Отвечая на аналогичный, более старый вопрос , Qmechanic написал:
Квантовый принцип действия Швингера не является вариационным принципом в смысле нахождения стационарных точек для функционала. Скорее, он дает формулу того, как квантовая система (обычно амплитуда перекрытия/перехода ⟨𝐴|𝐵⟩) изменяется при изменении внешних параметров/источников в действии 𝑆.
Можно ли добавить несколько предложений, чтобы завершить ответ на вопрос 2? В каком смысле квантовое движение является особенным? Как это относится к свободным частицам? Или: как выразить словами квантовый принцип действия свободных частиц?
Вопрос 3. Каким образом принцип действия Швингера становится принципом наименьшего действия в классическом пределе? Хорошо, если равен нулю, эти два уравнения очень похожи. Так происходит переход? Что можно сказать, чтобы стало понятнее?
Вопрос 4. Правая часть принципа Швингера имеет вид умножить на комплексное число с величиной, равной или меньшей единицы. Почему это входит в принцип? Правильно ли сказать, что для больших времен перекрытие мало, и, следовательно, правая часть равна нулю?
В квантовом вариационном принципе ничто не минимизируется : нет вариаций, равных нулю.
Скорее, принцип представляет собой бесконечно малую версию интеграла по путям Фейнмана. В самом деле, интегрируя вариационный принцип, можно получить обычную формулу для функционального интеграла, как это очень ясно подчеркивал ученик Швингера Брайс ДеВитт, ср. ссылка 1 §10. На самом деле, трудно найти лучшее изложение вариационного принципа, чем в этой ссылке.
Поскольку вариационный принцип полностью эквивалентен функциональному интегралу, физическая интерпретация та же: амплитуда для любой данной конфигурации поля есть фаза, определяемая классическим действием этой конфигурации. Это постулат, более глубокого объяснения, откуда это происходит, нет. Из этого принципа можно вывести всю квантовую механику, но нельзя вывести сам принцип. Однако у ДеВитта очень хорошая мотивация. Иди проверь.
Более того, по той же причине классический предел получается таким же образом: как обычно, классическая конфигурация, являясь критической точкой, дает особенно большой вклад в общую амплитуду, по крайней мере, до тех пор, пока достаточно велико. В пределе , только классическая конфигурация — все остальные деструктивно мешают. Следует иметь в виду, что если невелика, могут преобладать чисто квантовые эффекты, и в этом случае классическая конфигурация совершенно не имеет отношения к динамике.
Я не понимаю подвопрос 4. Но нет: правая сторона (обычно) не пренебрежимо мала для больших времен. В классическом пределе им можно пренебречь, и только в этом пределе по определению. Иногда, может быть эквивалентен классическому пределу (например, если мы адиабатически отключим взаимодействия или что-то в этом роде). Но не в целом.
В качестве побочного комментария можно переформулировать квантовый вариационный принцип как классический вариационный принцип, заменив классическое действие эффективным (квантовым) действием. В более сложных терминах можно ввести квантовую скобку BV и т. д., которые заменяют классические объекты. См. ссылку 1 §24, если интересно. Это выходит за рамки данного поста.
Использованная литература.
Qмеханик
пользователь85598
пользователь85598