Почему мы до сих пор интерполируем в таблицах производительности?

В другой жизни я занимался техническим издательством (руководства по полетам и техническому обслуживанию). Таблицы используются в качестве альтернативы графическим представлениям сюжетов в руководствах по летной эксплуатации и облегчают доступ к информации, например, когда вы просто сидите с книгой на коленях. С графическим графиком вам нужно развернуть лист и разложить его ровно, чтобы вы могли работать по всей странице, возможно, вам потребуются такие вещи, как прямые края, чтобы помочь найти точки данных относительно масштабов полей на графике. Математические формулы обычно не представляются, потому что тогда пилоты должны были бы заниматься математикой, а большинство пилотов впадают в кататонию, когда их заставляют заниматься математикой.

Разбиение информации на таблицы сокращает процесс просеивания нужных вам данных по сравнению с графическим построением, но в целях экономии издательского места шаг представления данных ограничен достаточно большими шагами. Можно представить таблицу, включающую все единицы информации, но для этого может потребоваться, чтобы таблица занимала 20 страниц, а не 2. Ограничение таблицы, скажем, шагом в 10 единиц значительно сокращает используемое пространство, но это требует, чтобы вы интерполировали или сделали обоснованное предположение о точной единице внутри этого блока из 10 единиц для использования. Когда таблицы используются таким образом, это происходит потому, что интерполированная «догадка» достаточно точна для работы.

Самый крайний пример этого можно найти в кратких справочных справочниках, используемых летными экипажами для получения данных о процедурах и характеристиках. Первоначальная информация по некоторым параметрам летно-технических характеристик всегда будет находиться в РЛЭ в виде многоэлементной графической диаграммы (основной сертификационный документ), но у вас обычно нет такой под рукой в ​​кабине, а если и была вы все равно не могли его использовать; у вас есть QRH.

Обычно вы используете QRH, сидя в кабине с небольшим светом карты, чтобы видеть, и графический формат графика просто не будет работать. QRH сжимает данные в таблицы, что значительно ускоряет обработку необходимых данных, а при использовании таблиц интерполяция значений между указанными приращениями достаточно точна для выполнения этой работы.

Так что совершенно нормально видеть таблицу, которая дает результат, скажем, 10, 20, 30 и 40, и вы предполагаете, что нужное вам значение находится между 10 и 20, а 17 «выглядит примерно правильно». Идея состоит в том, что если истинное значение равно 16 или 18, то в этом случае оно мало что меняет в реальном мире.

Это напоминает мне о том, как в 80-х стало популярным использование электронных калькуляторов полета вместо круглых логарифмических линеек. Все, кого я знал, покупали эти новомодные авиакалькуляторы, но я никогда не беспокоился об этом, потому что я был дешев, и потому что сверхточный результат, который он давал, был не тем, чего вы могли бы достичь в обычном полете. Круговая логарифмическая линейка Jeppesen может быть точной только до узла или градуса, в то время как электронный калькулятор работает с точностью до десятичных знаков, но на самом деле никто не может летать с такой точностью, и логарифмическая линейка достаточно хороша, если вы не пытаетесь перейти к Луна. Кроме того, если вы хорошо освоитесь с круговой логарифмической линейкой Джеппса, вы сможете держать ее и решать решения одной рукой, получая полезный результат за гораздо меньшее время, чем калькулятор, который потребовался со всеми нажатиями клавиш.

Использование таблицы вместо точной формулы или графического графика похоже на это.

Для большей части информации в этих диаграммах нет единой формулы , которая охватывала бы все аспекты. Графический способ самый простой и имеет и другие преимущества:

1. В формуле легко использовать неправильное число, не заметив этого. На графике вы видите, куда ведут соседние значения, поэтому вы можете легко проверить, является ли ваш результат достаточно правильным.
2. Некоторые отношения нелинейны, поэтому вам потребуется несколько формул, каждая для своего диапазона допустимых входных данных. Диаграмма просто корректирует градиенты кривых — в большинстве случаев вы этого даже не заметите.
3. Авиация крайне консервативна. Если метод работал раньше, его изменение означает дополнительный риск за небольшое вознаграждение. Чтение значений производительности с диаграмм работает достаточно хорошо, поэтому постепенное улучшение формулы (если она вообще существует!) не будет стоить того.

Уравнения, если они и существуют, часто довольно нелинейны, и их неудобно вычислять на лету.

У меня нет уравнения для числа оборотов в минуту на заданной барометрической высоте для Cessna 162, но если я могу использовать другое уравнение в качестве конкретного примера: поправка на давление для данной высоты:

$$P(h)=P_0 e^{-\frac{Mg}{RT}h}$$ Это уравнение является формулой Барометика . Он игнорирует все виды реальных эффектов, но это довольно хорошее маленькое уравнение.$M$,$g$,$R$, и$T$являются константами, поэтому мы можем уменьшить его до более управляемого$P(h)=P_0 e^{-kh}$.

Не знаю, как вам, а мне сложно вычислять экспоненты. Я не могу сделать их интуитивно в уме, и трудно подтвердить, что я правильно ввел их в калькулятор. Но я могу сделать линейную интерполяцию или проверить свой калькулятор, если он у меня делает линейную интерполяцию.

И, честно говоря, это одно из самых простых уравнений. Упомянутые вами уравнения относятся к продукту очень сложных моделей (или просто к выборочным эмпирическим данным).

/Внимание - впереди вычисления!/

Если вам интересно, вы можете вычислить максимальную ошибку, вызванную этой линейной интерполяцией. В математике для этого есть уравнения. Практически говоря, все интересующие вас уравнения везде имеют вторую производную, поэтому вы можете использовать теорему Ролля , чтобы найти ошибку в этой линейной интерполяции :

$$|R_T| \le\frac{(x_1-x_0)^2}{8} max_{x_0\le x\le x_1}[F^{\prime\prime}(x)]$$ куда вы смотрите с высоты$x_0$к$x_1$и$F^{\prime\prime}$является второй производной интерполируемой функции или ее верхней границей. У вас нет$F$(это уравнение, которое вы запрашиваете в вопросе), но вы можете оценить его с конечным дифференцированием , например$F^{\prime\prime}(x_1)\approx \frac{F(x_0) + 2F(x_1) + F(x_2)}{x_1 - x_0}$а затем положите на него здоровую маржу.

Это большая работа. Я действительно не ожидаю, что ты это сделаешь. Но это дает полезное сравнение. Если кто-то не хочет вычислять набор оценок ошибок, сидя на земле, насколько готов он вычислять реальные уравнения в воздухе?

И если вы вычислите оценки погрешностей, теперь вы сможете сопоставить их с неопределенностями, например, насколько точно вы сможете рассчитать барометрическую высоту с учетом имеющихся у вас на борту инструментов?

Как уже указывалось, многие данные не являются результатом (одной) формулы. Помимо (нелинейных) дифференциальных уравнений, даже многие алгебраические соотношения не могут быть решены аналитически. Их нужно будет решить численно (например, x + ln (x) = 0 ..)

Многие из них сами по себе являются эмпирическими уравнениями, а это означает, что уравнения основаны не на физических моделях, а просто на приближении, пытающемся подогнать измеренные значения, что не сильно отличается от интерполяции. например. Коэффициенты трения Дарси ( https://en.wikipedia.org/wiki/Darcy_friction_factor_formulae )

Некоторые из них даже оба - чисто эмпирические и не поддаются аналитическому решению: (для развлечения ... прокрутите вниз до «Таблицы приближений уравнения Коулбрука»)

Затем есть смешанные формы, такие как корреляции, полученные с помощью анализа измерений («теорема Пи»), и коэффициенты, полученные из эмпирических измерений.

Некоторые примеры:

Некоторые данные, вероятно, являются результатом расчетов процесса проектирования и множества проверочных измерений:

• Что касается расхода топлива на разных высотах и ​​температурах, я твердо предполагаю, что ваша Cessna 162 была спроектирована для определенных значений производительности, а затем кто-то из Cessna только что летал в этих условиях и фактически измерил, и это точки данных, которые вы имеете в таблице ( плюс некоторое сглаживание данных и добавление небольшого запаса)

Остальные данные чисто эмпирические:

• какое октановое число нужно чтобы не было детонации? Как зависит воспламенение топливно-воздушной смеси от октанового числа?
• какое давление в шине? (для справки - как вы определяли давление в шине своего велосипеда? автомобиля?)

Нижняя граница

Интерполяция в таблице данных достаточно хороша по точности (вероятно, не хуже, чем другие методы), но проще и менее подвержена ошибкам - поэтому она выполняется в кабине.

---

Дополнительное примечание: другие методы позволяют делать прогнозы на этапе проектирования, в то время как таблицы данных являются статическими и ограничены известными значениями в рабочих границах после того, как проект зафиксирован. Я бы не стал использовать эти таблицы данных, если бы вы собирались... изменить размах крыльев?