Почему мы говорим, что неприводимое представление группы Пуанкаре представляет собой одночастичное состояние?

Во-первых, заметим, что в физике мы рассматриваем унитарные представления$U$группы Пуанкаре, действующей в гильбертовом пространстве$\mathcal H$теории, поскольку нас интересует точная формулировка концепции преобразований Пуанкаре, действующих на квантово-механические состояния теории как симметрии (поскольку законы физики должны быть инвариантны к инерциальной системе отсчета); и по теореме Вигнера мы выбираем эти симметрии, реализуемые унитарными операторами. Эти наблюдения связаны с вашими № 1 и № 3, и я думаю, что они должны быть концептуально отделены от понятия состояния, которое представляет собой состояние одной частицы.

Во-вторых, поскольку предполагается, что такие квантовые теории поля допускают возникновение состояний частиц и, в частности, должны объяснять состояния, в которых существует одна элементарная частица, мы ожидаем, что существует некоторое подмножество$\mathcal H_1$гильбертова пространства теории, соответствующей состояниям, «содержащим» одну элементарную частицу.

Учитывая эти наблюдения, давайте перефразируем ваш вопрос следующим образом:

Какие свойства мы ожидаем, что действие представления$U$будет иметь, когда его домен ограничен подпространством$\mathcal H_1$?

В частности, мы хотели бы обосновать следующее утверждение

Ограничение унитарного представительства$U$действующий на$\mathcal H$в одночастичное подпространство$\mathcal H_1$является неприводимым представлением группы Пуанкаре, действующей на$\mathcal H_1$.

Это требует обоснования двух вещей:

1. Карты ограничений$\mathcal H_1$в себя.
2. Ограничение является неустранимым.

Я думаю, что обоснование первого свойства довольно интуитивно. Если все, что мы делаем, это применяем преобразование Пуанкаре к состоянию системы, а именно просто меняем кадры, то количество частиц в состоянии не должно меняться. Было бы довольно странно, если бы вы, например, переместились из одной инерциальной системы отсчета в другую и обнаружили, что в нашей системе вдруг появилось больше частиц.

Требование необратимости означает, что единственное инвариантное подпространство одночастичного подпространства$\mathcal H_1$является собой и$\{0\}$. Физическая интуиция здесь такова: поскольку мы рассматриваем подпространство гильбертова пространства, в котором находится одна элементарная частица, следует ожидать, что не существует нетривиального подпространства гильбертова пространства.$\mathcal H_1$в котором векторы этого подпространства просто «вращены» друг в друга. Если бы они были, то частица не была бы «элементарной» в том смысле, что нетривиальное инвариантное подпространство представляло бы состояния некоторой «более элементарной» частицы. Однако когда дело доходит до дела, я не уверен, что есть какое-то более фундаментальное обоснование того, почему ограничение$U$к$\mathcal H_1$невозможно свести к минимуму, если не считать десятилетий нашего опыта в физике элементарных частиц и квантовой теории поля.

Неприводимые представления группы Пуанкаре помечены массой$m$и спина$s$[это соответствует инвариантам Казимира$m^2$а также$m^2s(s+1))$, поэтому естественно соответствует$1$-релятивистские состояния частиц.

Состояния, соответствующие представлению$m, s$помечены$|p,\lambda \rangle$, с$p^2=m^2$а также$-s \leq \lambda \leq s$, и здесь тоже соответствует$1$частица.

Для многочастичных состояний (состояний Фока) у нас есть симметричные или антисимметричные тензорные произведения этих состояний, например,$2$бозонное состояние частицы можно записать:

Ясно, что эти многочастичные представления больше не являются неприводимыми (поскольку они представляют собой сумму произведения неприводимых представлений).

Унитарность на это не влияет, фоковские состояния соответствуют унитарному представлению.