Почему одночастичные состояния дают респ. неоднородной группы Лоренца?

Question

Почему одночастичные состояния дают респ. неоднородной группы Лоренца?

Физика
симметрия Пуанкаре
специальная теория относительности
квантовая теория поля
групповые представления

1989189198

В продолжение этого вопроса : Вайнберг говорит

В общем, это может быть возможно при использовании подходящих линейных комбинаций $\psi_{p,\sigma}$ выбрать $\sigma$ маркирует таким образом, чтобы $C_{\sigma'\sigma}(\Lambda, p)$ блочно-диагональный; иными словами, чтобы $\psi_{p,\sigma}$ с $\sigma$ внутри любого блока сами по себе представляют неоднородную группу Лоренца.

Но зачем неоднородная группа Лоренца, если, во-первых, мы произвели однородное преобразование Лоренца на состояниях через $U(\Lambda)$ ? Я также хочу прояснить, что подразумевается под государствами, «обеспечивающими» представительство.

Что касается вышеупомянутой путаницы, тот же сценарий снова проявляется во время обсуждения маленькой группы. Вот небольшая предыстория: $k$ является «стандартным» 4-импульсом, так что мы можем выразить любой произвольный 4-импульс $p$ как $p^{\mu} = L^{\mu}_{\nu}(p) k^{\nu}$ , где $L$ является преобразованием Лоренца, зависящим от $p$ . Рассмотрим подгруппу преобразований Лоренца $W$ которые оставляют $k$ инвариант (маленькая группа), и находим, что:

$U(W)\psi_{k \sigma} = \sum_{\sigma'} D_{\sigma' \sigma}(W)\psi_{k \sigma'}$ . Затем он говорит:

Коэффициенты _ $D(W)$ предоставить изображение маленькой группы; т. е. для любых элементов $W$ и $W'$ , мы получаем $D_{\sigma' \sigma}(W'W) = \sum_{\sigma''}D_{\sigma' \sigma''}(W)D_{\sigma''\sigma}(W')$ .

Так ведь и в первой части о группе Лоренца, $C$ матрицы обеспечивают представление, а не $\psi$ ?

Кроме того, для очень упрощенного случая, если $C_{\sigma'\sigma}(\Lambda, p)$ является полностью диагональным, был бы я прав, говоря в таком случае следующее, для любого $\sigma$ ?

U (Λ) ψ_{п, о} "=" к_{о} (Λ, п) ψ_{Λ п, о}

$U(\Lambda)\psi_{p,\sigma} = k_{\sigma}(\Lambda, p)\psi_{\Lambda p, \sigma}$

Только в этом случае мне ясно, что $U(\Lambda)$ образует представление группы Лоренца, так как $\psi_{p,\sigma}$ сопоставляются с $\psi_{\Lambda p, \sigma}$ .

Дэвид З.

Просто совет: не нужно так смело помечать вопросы как дополнительные. Я внес некоторые косметические изменения в этот и ваш последний вопрос, но если я где-то изменил значение того, что вы хотели спросить, пожалуйста, исправьте это. :-)

Виберт

Представление — это векторное пространство с присоединенным к нему групповым действием. В линейной алгебре это набор векторов

v^{i}

$v^i$ которые перемещаются под действием группы, т.е. когда

g

$g$ элемент группы, то существует матрица

D (g)^{i}_{j}

$D(g)^i{}_j$ который действует на них как

D (g)^{i}_{j} v^{j}

$D(g)^i{}_j v^j$ . В QM/QFT векторное пространство состоит из состояний

| ψ (p, σ) ⟩

$|\psi(p,\sigma)\rangle$ (или любое другое обозначение, которое использует Вайнберг). Вот что он имеет в виду под "предоставлением" представителя.

1989189198

@Vibert: Я так и думал. Но

U

$U$ матрицы отображают состояния

ψ

$\psi$ к состояниям, преобразованным Лоренцем, поэтому это должно быть

C_{σ σ^{'}}

$C_{\sigma \sigma'}$ матрицы, дающие представление группы Лоренца. Я не понимаю, почему Вайнберг говорит, что государства

ψ

$\psi$ являются теми, кто обеспечивает такое представление. (см. отредактированный вопрос)

Виберт

Хорошо, я вижу, это вопрос языка. Формально представление представляет собой линейную карту из группы в ваше векторное пространство, поэтому в этом случае карта

W \mapsto D (W) .

$W \mapsto D(W).$ Но когда вы используете эту конструкцию, конечно, это зависит от обоих случаев.

ψ

$\psi$ и действующие на них матрицы Лоренца. Вот почему в физике мы используем термин представление более небрежно, чем наши друзья-математики.

Ответы (2)

Почему одночастичные состояния дают респ. неоднородной группы Лоренца?

Просто совет: не нужно так смело помечать вопросы как дополнительные. Я внес некоторые косметические изменения в этот и ваш последний вопрос, но если я где-то изменил значение того, что вы хотели спросить, пожалуйста, исправьте это. :-)
Представление — это векторное пространство с присоединенным к нему групповым действием. В линейной алгебре это набор векторов $v^i$ которые перемещаются под действием группы, т.е. когда $g$ элемент группы, то существует матрица $D(g)^i{}_j$ который действует на них как $D(g)^i{}_j v^j$ . В QM/QFT векторное пространство состоит из состояний $|\psi(p,\sigma)\rangle$ (или любое другое обозначение, которое использует Вайнберг). Вот что он имеет в виду под "предоставлением" представителя.
@Vibert: Я так и думал. Но $U$ матрицы отображают состояния $\psi$ к состояниям, преобразованным Лоренцем, поэтому это должно быть $C_{\sigma \sigma'}$ матрицы, дающие представление группы Лоренца. Я не понимаю, почему Вайнберг говорит, что государства $\psi$ являются теми, кто обеспечивает такое представление. (см. отредактированный вопрос)
Хорошо, я вижу, это вопрос языка. Формально представление представляет собой линейную карту из группы в ваше векторное пространство, поэтому в этом случае карта $W \mapsto D(W).$ Но когда вы используете эту конструкцию, конечно, это зависит от обоих случаев. $\psi$ и действующие на них матрицы Лоренца. Вот почему в физике мы используем термин представление более небрежно, чем наши друзья-математики.

Тримок · Answer 1

В неоднородной группе Лоренца $ISO(1,3)$ , у вас есть группа пространственно-временного перевода $\mathbb{R}^{1,3}$ , и группа Лоренца $SO(1,3)$ .

Вы начинаете находить представление группы перемещения пространства-времени, выбирая импульс $p$ . Таким образом, ваше представительство должно иметь $p$ индекс,

ψ_{п} .

$\psi_p \, .$

После этого вам нужно будет получить полное представление, найдя представление группы Лоренца, совместимое с импульсом $p$ , это добавит еще один индекс $\sigma$ что соответствует поляризации, поэтому у вас будет представление,

ψ_{п, о},

$\psi_{p, \sigma} \, ,$

что является представлением неоднородной группы Лоренца.

Арт Браун · Answer 2

Что касается значения представления, вот определение из лекций Питера Войта «Квантовая механика для математиков» (доступно в Интернете), раздел 1.3:

Определение (Представление). (комплексное) представление ( $\pi, V$ ) группы $G$ является гомоморфизмом
$π : г е г \to π (г) е г л (В)$ $\pi: g \in G \rightarrow \pi(g) \in GL(V)$ где $GL(V)$ группа обратимых линейных отображений $V \rightarrow V$ , с $V$ комплексное векторное пространство.

Сказать, что карта является гомоморфизмом, означает
$π (г_{1}) π (г_{2}) "=" π (г_{1} г_{2})$ $\pi(g_1) \pi(g_2) = \pi(g_1g_2)$ Когда $V$ конечномерна, и мы выбрали базис $V$ , то имеем отождествление линейных отображений и матриц $г л (В) ≃ г л (н, С)$ $GL(V) \simeq GL(n,\boldsymbol{C})$ где $GL(n,\boldsymbol{C})$ группа обратимых $n$ к $n$ сложные матрицы.

Таким образом, представление есть гомоморфизм (отображение, сохраняющее операцию) из группы $U(\Lambda)$ матрицам преобразования (C и D Вайнберга), но для этих матриц требуется векторное пространство (матрица $\psi$ с), на что действовать.

В остальном, вот мой ответ (осторожно, я просто медленный ученик):

Этот раздел 2.5 называется «Состояния одной частицы». Если $C$ оказывается приводимым (блочно-диагонализуемым), разные блоки не зависят друг от друга (нет смешивания между блоками) и интерпретируются как разные виды частиц. Таким образом, для состояния одной частицы предполагается один неприводимый блок.

В этом аргументе допустимо обобщать однородные преобразования на неоднородные, потому что переводы не смешиваются. $\sigma$ и, следовательно, не влияет на блочную структуру $C$ :

U (1, а) Ψ_{п, о} "=" е^{- я п \cdot а} Ψ_{п, о}

$U(1,a) \Psi_{p,\sigma} = e^{-ip\cdot a} \Psi_{p,\sigma}$

Наконец, в случае, если вы постулируете полную диагональ $C$ , я думаю, что вы остались с кучей видов частиц без $\sigma$ -перемешивание вообще, т.е. скаляры, каждый с тривиальной группкой ( $k=1$ ).

Почему одночастичные состояния дают респ. неоднородной группы Лоренца?

1989189198

Дэвид З.

Виберт

1989189198

Виберт

Ответы (2)

Тримок

Арт Браун

Идентификация состояния типов частиц с представлениями группы Пуанкаре

Почему мы говорим, что неприводимое представление группы Пуанкаре представляет собой одночастичное состояние?

Какое матричное представление оператора импульса (генератора трансляций) используется в коммутаторах группы Пуанкаре?

Почему одночастичные состояния называются неприводимыми представлениями группы Пуанкаре?

(12,12)(12,12)(\frac{1}{2},\frac{1}{2}) представление SU(2)⊗SU(2)SU(2)⊗SU(2)SU (2)\otimes SU(2)

Природа полей в КТП

Унитарные неприводимые представления маленькой группы SO(3)SO(3)SO(3)

Вопрос о выводе Вайнбергом одночастичных состояний по группе Пуанкаре.

Путаница с книгой КТП Вайнберга, том 1, глава 3: перевод времени и картина Гейзенберга

Генераторы групп Пуанкаре.