Почему мы используем инфинитезимальные формы операторов?

Question

Почему мы используем инфинитезимальные формы операторов?

Дэвид Фэн

Во многих студенческих учебниках по квантовой механике (здесь я использую Modern Quantum Mechanics 2nd Edition Сакураи в качестве ссылки) рассмотрение углового момента происходит примерно так:

Начнем с некоторых матриц вращения $R_x, R_y, R_z$ а затем примените некоторое расширение степенного ряда к синусам и косинусам в этих матрицах вращения и отбросьте условия порядка $O(\epsilon^3)$ чтобы получить выражения для бесконечно малых вращений.

Затем воспользуемся «бесконечно малыми формами» соответствующего унитарного оператора:

U_{ϵ} "=" 1 - я г ϵ

$U_\epsilon = 1 - i G \epsilon$ где

G

$G$ — наш соответствующий оператор в гильбертовом пространстве. Затем мы накладываем соответствующие коммутационные соотношения, которые мы получили из матриц вращения

R_{x}, R_{y}, R_{z}

$R_x, R_y, R_z$ ранее.

Впоследствии утверждается, что для конечных вращений унитарный оператор становится экспонентой вида $U = e^{-iG\phi}$

Вот чего я не понимаю:

1) Почему мы используем «бесконечно малые» вращения как часть этого вывода и откуда именно берется формула для унитарного бесконечно малого оператора?

2) Почему соответствующая унитарная единица для конечного вращения принимает форму экспоненты? ( $U = e^{-iG\phi}$ ). Для (2) я знаю, что операторы для наблюдаемых образуют группу Ли (группу Галилея), характеризуемую своими коммутационными соотношениями, и что унитарные элементы являются элементами алгебры Ли, которая является касательным пространством группы Ли.

На мой взгляд, это означает, что эти унитарии как-то связаны с тем, как меняются наши наблюдаемые. Я также смутно припоминаю, что экспоненциальное отображение каким-то образом связывает группу Ли и алгебру Ли, но я не уверен, как именно это связывает все вместе.

Триаттикус

Интересно, что я бы классифицировал Modern QM от sakurai как учебник для выпускников.

Ответы (1)

Почему мы используем инфинитезимальные формы операторов?

Интересно, что я бы классифицировал Modern QM от sakurai как учебник для выпускников.

Хиральная аномалия · Answer 1

Использование бесконечно малых форм является удобством, а не необходимостью. Теорема Стоуна объясняет, почему нам это может сойти с рук. В последней части этого ответа упоминаются две причины, по которым мы можем захотеть избежать наказания.

Во-первых, вот один из способов представить взаимосвязь между генератором $G$ и соответствующая однопараметрическая унитарная группа $U(x)=\exp(iGx)$ . Если нам дана однопараметрическая группа (взаимно коммутирующих) унитарных операторов $U(x)$ , мы можем определить $G$ к

\begin{matrix} (1) & \frac{г}{г Икс} U (Икс) "=" я г U (Икс) . \end{matrix}

$\frac{d}{dx}U(x)=iGU(x). \tag{1}$ И наоборот, учитывая

G

$G$ , мы можем определить

U (x)

$U(x)$ по уравнению (1) вместе с условием

\begin{matrix} (2) & U (0) "=" 1, \end{matrix}

$U(0)=1, \tag{2}$ где

1

$1$ обозначает тождественный оператор. Вот простой пример: предположим, что нам дано

\begin{matrix} (3) & г "=" - я (\begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}), \end{matrix}

$G = -i\left(\begin{matrix} 0&-1\\ 1&0\end{matrix}\right), \tag{3}$ и мы хотим определить

U (x) = \exp (i G x)

$U(x)=\exp(iGx)$ . Уравнениям (1)-(2) удовлетворяют

\begin{matrix} (3) & г "=" (\begin{matrix} потому что Икс & - грех Икс \\ грех Икс & потому что Икс \end{matrix}) . \end{matrix}

$G = \left(\begin{matrix} \cos x &-\sin x\\ \sin x&\cos x\end{matrix}\right). \tag{3}$ Поскольку (1) является дифференциальным уравнением первого порядка, его решение однозначно задается начальным условием (2), поэтому (3) является единственным решением уравнения (1)-(2).

Мы запишем решение в виде экспоненты , потому что уравнения (1)-(2) влекут

\begin{matrix} (4) & U (Икс) U (у) "=" U (Икс + у), \end{matrix}

$U(x)U(y)=U(x+y), \tag{4}$ что является характерным свойством экспонент. Для бесконечно малого

x

$x$ , из уравнений (1)–(2) следует

U (x) = 1 + i G x + O (x^{2})

$U(x)=1+iGx+O(x^2)$ . Это снова согласуется со ссылкой на

U (x)

$U(x)$ как "экспонента"

i G x

$iGx$ .

Вот две причины, по которым мы можем захотеть работать с алгеброй Ли (также известной как генераторы группы Ли) вместо работы с самой группой Ли:

Хотя унитарных представлений группы вращений SO(3) достаточно для описания преобразования наблюдаемых , наблюдаемые часто строятся с использованием других величин, которые вместо этого преобразуются в соответствии с унитарным представлением покрывающей группы SO (3), то есть SU(2) . Вот связанный пост, который показывает, как эта идея распространяется от группы вращения до группы Лоренца: https://physics.stackexchange.com/a/437221/206691. Одна из приятных особенностей работы с генераторами вращений вместо самих вращений заключается в том, что генераторы SO(3) удовлетворяют той же алгебре (коммутационным соотношениям), что и генераторы покрывающей группы SU(2). Работая с генераторами, мы можем выполнять некоторые части некоторых вычислений, не указывая, какая из этих двух групп задействована. В более общем смысле, работая с представлениями алгебры Ли, мы автоматически включаем все представления (односвязной) покрывающей группы. Более подробно это выражено в разделе 8.1 книги Фултона и Харриса (1991), « Теория представлений: первый курс» .
Даже при работе с линейными переносами (вместо поворотов) часто бывает удобно работать с бесконечно малыми формами. Для перемещений в пространстве бесконечно малыми формами являются (полные) операторы импульса; а для переносов во времени бесконечно малой формой является оператор Гамильтона (полной энергии). Записать явное выражение для гамильтониана проще, чем записать явное выражение для унитарного оператора, реализующего конечный сдвиг во времени. Другими словами, записать уравнение Шредингера проще, чем записать наиболее общее решение уравнения Шредингера... и это мягко сказано.

Я бы добавил третий пункт в ваш список причин работать с алгеброй Ли вместо группы Ли: она позволяет генерировать сохраняющиеся величины из унитарных симметрий. (Непрерывная) унитарная симметрия гамильтониана означает, что существует некоторый эрмитов оператор, который также коммутирует с гамильтонианом, а именно производная унитарной симметрии. Это немедленно дает сохраняющуюся наблюдаемую. И наоборот, учитывая сохраняющуюся наблюдаемую, вы можете возвести ее в степень, чтобы получить унитарную симметрию.

Почему мы используем инфинитезимальные формы операторов?

Дэвид Фэн

Триаттикус

Ответы (1)

Хиральная аномалия

Джахан Клас

Почему эволюция времени едина? - Версия с изображением Гейзенберга

О смене базиса в квантовой механике [закрыто]

Как я могу сгенерировать случайное блуждание по U(n)U(n)U(n)?

Использование симметрии для определения пути распада электрона водорода от |300⟩|300⟩|300\rangle до |100⟩|100⟩|100\rangle

Построить SO(3)SO(3)SO(3) вращение внутри двух SU(2)SU(2)SU(2) фундаментальных вращений

Можем ли мы понять гамильтониан a†a†+aaa†a†+aaa^\dagger a^\dagger + aa?

Что сложение углового момента говорит нам о теории групп?

Антиунитарный оператор и гамильтониан

Бесконечномерные представления SO(3)SO(3)\text{SO}(3)

Почему преобразования симметрии, связанные с тождеством, обязательно представляются линейными унитарными операторами?