Почему мы определили бессодержательные утверждения как истинные, а не как ложные?

Мы НЕ определяем бессодержательные утверждения как истинные.

Бессмысленно истинное утверждение бессодержательно истинно.

«Напрасно ложное» утверждение напрасно ложно; хотя никто никогда не задумывается об этом типе утверждений.

Пример: каждый элемент пустого множества — фиолетовый летающий слон.

Мы согласны с тем, что это утверждение (i) бессодержательно; на самом деле это не говорит ничего значимого; и (ii) истинно по законам логики предикатов. Чтобы признать его ложным, мы должны найти элемент пустого множества, который не является фиолетовым летающим слоном. Поскольку мы не можем этого сделать, утверждение должно быть истинным. Эквивалентно: «ЕСЛИ x находится в пустом множестве, ТО x — фиолетовый летающий слон». Это верно в силу определения материальной импликации. [Обратите внимание, что любое другое возможное присвоение значения истинности для импликации хуже. Люди, жалующиеся на материальные последствия, редко принимают это во внимание].

Теперь, когда мы придумали прекрасный пример пустой истины, давайте посмотрим, сможем ли мы придумать пример пустой лжи. Как насчет:

Это НЕ тот случай, когда каждый элемент пустого множества является фиолетовым летающим слоном .

Поскольку исходное утверждение истинно, его отрицание ложно. Это еще ничего не значит, это пусто. Но это ЛОЖЬ. Чтобы доказать обратное, вам нужно продемонстрировать элемент пустого множества, который является чем-то ДРУГИМ, а не фиолетовым летающим слоном. Но вы не можете этого сделать!

Так что это пустая ложь .

Вывод: Утверждение может быть бессодержательным, то есть оно использует причуду логики для утверждения чего-то, что не имеет реального смысла, но при этом имеет совершенно детерминированное истинностное значение. [Я уверен, что кто-то может улучшить это определение. Я не уверен, что вообще существует формальное определение слова «пустой».]

Но, учитывая бессодержательное утверждение, оно может быть истинным или ложным.

Причина, по которой «бессмысленные утверждения» почти всегда являются истиной, заключается просто в том, что мы говорим о них как о краеугольном случае; при этом никогда не удосужившись упомянуть их близкого родственника, бессодержательную ложь.

Так что это парадокс использования. Или, возможно, мы можем назвать это соглашением, которое заставляет людей думать, что это правило, хотя на самом деле это не так.

Когда мы говорим «пустой», мы почти всегда имеем в виду какую-то пустую истину. Но это не обязательно по логике. Это просто лингвистическая условность. В любой формальной обстановке, если кто-то сослался на бессодержательное утверждение, вы были бы вправе спросить его, имеют ли они в виду, что оно бессодержательно истинно или бессодержательно ложно.

Предположим, вы пытаетесь решить следующую алгебраическую задачу с действительными числами:

Найдите решения x ² = 6x - 11

Ваш первый шаг к решению проблемы может заключаться в том, чтобы свести все в одну сторону, чтобы составить квадратное уравнение:

х ² - 6 х + 11 = 0

Каково здесь действительное логическое обоснование? Законы арифметики говорят, что верно следующее:

Если х ² = 11 - 6 х, то х ² + 6 х - 11 = 0.

Согласны ли вы с тем, что это допустимый шаг в споре?

Сюрприз! На самом деле это пустое заявление.

Я создал это, чтобы сохранить вкус «если x находится в пустом наборе». Еще более простым примером пустого условного предложения может быть

Если х = 1, то х + 1 = 2.

Ясно, что это должно быть верным утверждением. Но оно бессодержательно в любой задаче, где, например, x=2.

Пустая истина — это не просто странность; это важная часть рассуждений с классической логикой, которая возникает естественно и часто.

Идея импликации заключается в том, что делает обоснованным рассуждение — это утверждение о том, что обоснованный аргумент может перейти от гипотезы к заключению. Это не имеет абсолютно никакого отношения к вопросу о том, может ли быть установлена ​​сама гипотеза.

Если вы хотите сформулировать утверждение, что некоторая гипотеза P верна и что некоторый вывод Q верен, вы должны сказать «P и Q», а не «если P, то Q».

Я считаю полезным рассматривать этот вопрос с помощью традиционного «квадрата оппозиции». В соответствии с ним у нас есть среди прочего (см. https://plato.stanford.edu/entries/square/ для полного объяснения и схемы всего квадрата) следующие тезисы:

(1) «Все F являются G» влечет за собой «Некоторые F являются G».

(2) «Ни одно F не является G» эквивалентно «Все F не являются G».

Когда есть несколько F, с традиционным квадратом все в порядке.

Но когда нет F, мы не можем сохранить и (1), и (2). Почему бы и нет? Предположим, что F нет. Тогда «Ни одно F не является G» верно, поэтому согласно (2) верно «все F не G». Но тогда согласно (1) «некоторое F не есть G» верно. Но из этого следует, что Ф все-таки есть.

Современное решение этой проблемы — отказаться от (1) и сохранить (2). Из этого следует, что если нет F, то мы имеем для каждого G, что «никакое F не есть G» истинно, и, таким образом, из (2) что для любого G истинно «каждое F есть G», что является выводом, что вы справедливо находите нелогичным.

Мы могли бы выбрать решение, которое отвергает (2) вместо (1). Но нет решения, которое сохранило бы каждый аспект традиционного квадрата оппозиции. Поскольку традиционный квадрат интуитивно понятен, не существует решения, которое не имело бы где-либо противоречащих интуиции последствий.

Мы считаем, что ⱯxϵS P(x) ↔ ¬ƎxϵS ¬P(x) выполняется для всех множеств, включая пустое; или, что то же самое, ¬ⱯxϵS P(x) ↔ ƎxϵS ¬P(x) . Следовательно, универсальное утверждение фальсифицируется только путем демонстрации существования контрпримера.

Вы никогда не сможете сделать это для универсального оператора, ограниченного пустым набором, потому что внутри пустого набора ничего не существует. Таким образом, ¬ƎxϵՓ ¬P(x) считается безосновательно ложным.

Следовательно, ⱯxϵՓ P(x) истинно для любого P, поскольку в пустом множестве не может быть контрпримера.

«Каждый элемент пустого множества эквивалентен зебре» не делает утверждений о несуществующих элементах, он делает утверждения об отсутствии элементов вообще. Это разница. Когда вы говорите «утверждение о несуществующем элементе», вы делаете вид, что существует элемент со свойством «несуществующий». Но несуществующих элементов нет.

Логика должна вести себя разумно. Подумайте о любом множестве, например множестве S с элементами 1, пустом множестве, гну и зебре. Утверждение «каждый элемент S является зеброй» явно неверно — 3 элемента из четырех не являются зебрами.

Что происходит, когда мы удаляем элементы? Удаление элементов может сделать утверждение верным. Если мы удалим 1, пустой набор и гну, то утверждение может измениться с «Нет» на «Да», иначе оно не может измениться. Итак, если у нас осталась только зебра, то удаление этой зебры может изменить утверждение «каждый элемент S является зеброй» с ложного на истинное, но не с истинного на ложное. Следовательно, утверждение обо всех элементах пустого множества должно быть истинным.

При обсуждении универсальных или экзистенциальных кванторов в логике первого порядка переменная, связанная этими кванторами, относится к членам домена. Авторы forallx заявляют кое-что важное о количестве элементов в домене: (стр. 160)

В домене должен быть хотя бы один член.

Домен не пустой.

Это вызывает опасения по поводу существования. Почему мы должны предполагать, что что-то существует? Если мы говорим, что для всех x в области выполняется предсказание P , то есть все x обладают этим свойством, это означает, что в области существует по крайней мере одно нечто, для которого P (x) истинно.

Для тех, кто хочет ограничить претензии на существование, есть свободная логика . Для тех, кто не возражает против этих утверждений и считает это определение удовлетворительным, это решает часть проблемы OP, по крайней мере, как это описано в этом примере:

ЕСЛИ ( x в Empty_Set ) THEN ( Zebra (x)) верно

По определению домен не может быть пустым, поэтому утверждение «x в Empty_Set» не разрешено. Переменная x должна быть членом непустого домена, скажем, всех животных, которые сейчас находятся в моем доме (где нет зебр).

Это поднимает следующую проблему, когда идея бессодержательных утверждений имеет некоторую потребительную ценность. Хотя домены должны быть непустыми, предикаты могут быть пустыми, как в этом примере, поскольку ни одно из животных в моем доме не является зеброй.

Продолжая этот пример, пусть Кошка будет предикатом, описывающим животное в моем доме, которым является кошка. Тогда следующее будет беспочвенно верным :

Для всех x в домене животных в моем доме, если Zebra(x), то Cat(x) .

Поскольку Zebra(x) ложно для всех x в домене, это пустой предикат для данного домена. Следовательно, условное является бессодержательно истинным.

Возможный способ обойти некоторые из этих беспочвенно истинных условных выражений состоит в том, чтобы взглянуть на логику релевантности , «требующую, чтобы предшествующее и последующее следствия были релевантно связаны», если такое использование утверждения, являющегося бессодержательно истинным, вызывает проблемы.

Давайте рассмотрим некоторые последние проблемы, которые поднимает ОП:

Почему мы переводим неформальное утверждение «для всех x в A таких, что Qx » в формальное утверждение «∀x(x∈A → Qx)»? Как мы переведем «существует x в A такой, что Qx »? Это просто «∃x(x∈A → Qx)»?

Учитывая, что домен A не может быть пустым, первое утверждение, возможно, лучше символизировать как «∀x∈A(Qx)», а второе как «∃x∈A(Qx)», если кто-то хочет явно отметить домен.

Ссылка

«Свободная логика», Википедия https://en.wikipedia.org/wiki/Free_logic

PD Магнус, Тим Баттон с дополнениями Дж. Роберта Лофтиса, ремикшированный и отредактированный Аароном Томасом-Болдуком, Ричардом Заком, forallx Calgary Remix: An Introduction to Formal Logic, зима 2018 г. http://forallx.openlogicproject.org/

«Логика релевантности», Википедия https://en.wikipedia.org/wiki/Relevance_logic

Потому что таким образом у нас будет вчетверо меньше правил дедукции, чем у Аристотеля. У вас есть два варианта. Оба имеют одинаково мало смысла, один делает формализм в четыре раза эффективнее. Сделай выбор.

Также «мы» не принимали это решение, мы все следовали за одним человеком, который его принял: Джорджем Булем. Вот почему мы называем это булевой логикой.

Аристотель имел дело с четырьмя видами квантификации, потому что он не хотел делать такого рода искусственное навязывание. Но Буль заметил, что дизъюнкция была чем-то вроде сложения, а конъюнкция чем-то вроде умножения. Мы не можем произвести дизъюнкцию точно так же, как сложение, но мы можем, с этим глупым соглашением, сделать конъюнкцию точно так же, как умножение. Хорошие качества, которыми обладает умножение, окупаются тем, что позволяют делать более краткие утверждения о конъюнкции, чем о дизъюнкции.

Как только вы выбрали такой подход к дизъюнкции, универсальная квантификация следует этому примеру, и они согласуются друг с другом точно так же, как простые и бесконечные произведения. Опять же, более частные случаи исчезают. Так что логика Буля выглядит лучше, ее легче отслеживать, и мы ее сохранили.

В общем, принцип пустой истины можно сформулировать так:

A => [~ A => B ] для любых логических предложений A и B

Вот таблица истинности:

Ниже приводится формальное доказательство с использованием формы естественной дедукции. Он использует принципы условного доказательства (строки 7-8), доказательства от противного (строка 5) и устранения двойного отрицания (строка 6):

В вашем примере у вас есть A = « x не в пустом наборе» и B = « Zebra ( x )». Результирующая импликация всегда будет истинной (тавтология), но вы не сможете вывести из нее, что Zebra ( x ) истинна, поскольку ее непосредственный антецедент (~ A ) будет ложным при условии, что A истинно.