Почему наиболее вероятная скорость не равна среднеквадратичной скорости идеального газа?

Мы привыкли думать о «наиболее вероятном» и «среднем значении» как об одном и том же, но это не обязательно так. Стоит помнить, что «математическое ожидание» шестигранного кубика равно 3,5, но это не очень вероятный результат. Вы можете возразить, что это происходит из-за дискретных эффектов, но рассмотрим следующий пример: у вас есть два идентичных гауссиана с шириной$\sigma$, но они разделены. Один имеет среднее значение$m_1$а другой имеет среднее значение$m_2 = m_1 + \delta$. Если они идентичны и мы усредняем между ними, мы получаем ожидаемое значение$(m_1 + m_2) /2 = m_1 + \delta/2$. Но$\delta$может быть довольно большим, в частности, возможно, гауссианы очень разделены$\delta >> \sigma$. Тогда среднее значение могло бы оказаться в точке со сколь угодно малой вероятностью быть действительно выбранным!

Таким образом, как правило, наиболее вероятное значение распределения и среднее значение не обязательно должны быть вместе. Помогает ли это, или вы бы предпочли более прямо поговорить о распределениях Максвелла-Больцмана (скорости атомов)?

В любом распределении вероятностей есть много способов найти какое-то «среднее» значение, то есть способов определить «центральность» распределения. В дискретных распределениях вы почти наверняка сталкивались со средним значением, медианой и модой, а также, возможно, с различными «ароматами» средних значений — арифметическими, геометрическими, гармоническими и т. д. Для непрерывных распределений у нас есть еще больше способов найти центральность, например RMS ( обычно используется для распределений, где случайная величина может быть как положительной, так и отрицательной в равной степени), а также наиболее вероятной. Как правило, эти числа, представляющие одно число всего распределения, будут разными, хотя в особых случаях они могут быть равными. Здесь у нас есть распределение, которое, конечно, не является одним из этих частных случаев,