Как можно вычислить реальные ddd-орбитали из комплексных орбиталей?

Недавно я закончил курс квантовой механики 8.04 Массачусетского технологического института на edX и писал код на Python для вычисления водородоподобных электронных орбиталей, в основном просто для развлечения. Моя программа вычисляет собственные состояния на основе$n$,$l$, и$m$и использует пакет 3D-графики mayavi для его построения.

Мой вопрос касается вычисления$s$,$p$,$d$, и$f$орбиталей в реальных базисах суперпозицией (комплексных) собственных состояний. Я нашел, как это сделать для$p_x$и$p_y$и он работает как задумано.

$$p_z = p_0 \\ p_x = \frac{1}{\sqrt{2}} \left(p_1 + p_{-1} \right) \\ p_y = \frac{1}{i\sqrt{2}} \left( p_1 - p_{-1} \right)$$

Так как же сделать что-то аналогичное для вычисления$d_{z^2}$,$d_{xz}$,$d_{yz}$,$d_{xy}$, и$d_{x^2-y^2}$? Глядя на некоторые таблицы и наблюдая за шаблонами, я предполагаю, что мне нужно сделать:

$$d_{z^2} = d_0 \\ d_{xz} = \frac{1}{\sqrt{2}} \left(d_1 + d_{-1} \right) \\ d_{yz} = \frac{1}{i\sqrt{2}} \left( d_1 - d_{-1} \right)\\ d_{xy} = \frac{1}{\sqrt{2}} \left(d_2 + d_{-2} \right) \\ d_{x^2 - y^2} = \frac{1}{i\sqrt{2}} \left( d_2 - d_{-2} \right)$$

и аналогично для$f$орбитали с$m = \pm 1, 2, 3$.

Спасибо за любые разъяснения по этому поводу. На линии нет ничего важного, но я надеюсь понять, как это работает.