Я думал, что уравнение движения — это что-то, где вам дается лагранжиан, и, используя уравнение Эйлера-Лагранжа, вы затем находите уравнения движения для этой системы. Та же основная идея для гамильтониана, но с уравнениями Гамильтона.
Но зависящее от времени уравнение Шредингера записывается как
я тоже предположил
Мой вопрос:
Может ли кто-нибудь объяснить, почему независимое от времени уравнение Шрёдингера не является уравнением?
TISE представляет собой уравнение с собственным значением из-за применения разделения переменных к TDSE; это уравнение только для пространственной функции.
Может ли кто-нибудь объяснить, в каком именно смысле зависящее от времени уравнение Шредингера является уравнением движения?
Лагранжиан (плотность), для которого TDSE (и сопряженное с ним) является EOM, это
В классической механике существуют правильные конструкции, напоминающие формализм квантовой механики, но он несколько выходит за рамки лагранжевого формализма. В классической механике вы можете представить систему в виде фазового пространства с точками, соответствующими состояниям системы. Теперь функции над этим фазовым пространством образуют симплектическую алгебру Ли вместе со скобкой Пуассона в качестве скобки Ли. Уравнения Гамильтона можно рассматривать как действие гамильтониана, действующего на функцию фазового пространства и действием скобки Ли. Эти уравнения говорят о том, что это действие гамильтониана связано с производной по параметру (времени) этих функций в фазовом пространстве.
Если вы встанете на гейзенберговскую точку зрения квантовой механики, где зависимость от времени возлагается на операторы, мы увидим прямую связь. Уравнение Гамильтона вместе со скобкой Пуассона можно связать с настоящим случаем, заменив функции над фазовым пространством операторами, действующими в гильбертовом пространстве, и заменив скобку Пуассона коммутатором в качестве скобки Ли. Вы получаете уравнения движения квантовой механики в картине Гейзенберга (если операторы не зависят явно от времени). Довольно интересно, что точно такая же алгебраическая структура движения (алгебра Пуассона) присутствует и в классической механике, и в квантовой механике (и даже в КТП! См. каноническое квантование.), разница заключается в реализации с использованием разных математических объектов.
Теперь мы знаем, что можем переписать эти уравнения зависимости от времени, используя векторы состояния в гильбертовом пространстве вместо самих операторов. Это картина Шрёдингера, и она приводит к уравнению, которое вы дали. Здесь также есть аналогия с классической механикой, если учесть, что гамильтониан можно использовать для определения гамильтониана потока в фазовом пространстве, который по существу является кривым в фазовом пространстве, параметризованном тем, что мы называем временем.
Случай с не зависящим от времени уравнением Шредингера несколько отличается. Когда у вас есть уравнение, зависящее от времени, и вы хотите его решить, вы предполагаете, что решения можно разделить с точки зрения временной зависимости и пространственной зависимости. А из теории УЧП решение уравнения сводится к решению уравнения, не зависящего от времени, путем разделения переменных.