Собственные функции уравнения Шрёдингера

Почему решения уравнения Шредингера называются собственными функциями ? Для электрона, движущегося в одномерной решетке, собственные функции имеют вид $$\psi(x)=u_k(x)e^{ikx}.$

Это вопрос терминологии?
Не знаю, что означает вопрос терминологии.
Если вы хотите глубже узнать, почему так происходит, вы можете узнать о спектральной теории в функциональном анализе.
Не потому ли, что они являются решениями уравнения на собственные значения
ЧАС ψ "=" Е ψ
«Терминология» обычно относится к имени — в данном случае это название величин, которые мы называем «собственными функциями». Я интерпретировал это как то, что вы хотите знать, почему собственные функции называются «собственными функциями».
Уравнение Шредингера — это не просто проблема собственных значений; это динамическое уравнение в гильбертовом пространстве: я ∂ т ψ ( т , Икс ) "=" ЧАС ψ ( т , Икс ) . Решения этого уравнения не все собственные функции ЧАС . Однако при наличии собственной функции (если она существует в гильбертовом пространстве) ψ Е ( Икс ) такой, что ЧАС ψ Е ( Икс ) "=" Е ψ Е ( Икс ) ( Е е р ), то ассоциированное решение ψ Е ( т , Икс ) уравнения Шредингера с ψ Е ( 0 , Икс ) "=" ψ Е ( Икс ) (начальное условие) довольно простое: ψ Е ( т , Икс ) "=" е − я т Е ψ Е ( Икс ) . Кроме того, ψ Е ( т , Икс ) является собственной функцией для всех т е р .

Ответы (1)

С собственным значением должны быть знакомы физики. Для некоторой матрицы А , умноженный на некоторый вектор Икс , мы получаем

(1) А Икс "=" λ Икс
где λ является собственным значением, характеристикой А на Икс .

Собственная функция связана с уравнением (1). Для заданного оператора (дифференциального оператора в случае квантовой механики) А , действуя на функцию , ф ( Икс ) , имеем отношение,

(2) А ф "=" λ ф
где λ по-прежнему называется собственным значением. Функция, удовлетворяющая этому соотношению, называется собственной функцией .

Обратите внимание, что не каждая функция удовлетворяет этому соотношению. Например, учитывая А "=" д д Икс (дифференциальный оператор первого порядка) и ф ( Икс ) "=" Икс 2 , результирующая операция

А ф "=" д д Икс ( Икс 2 ) "=" 2 Икс ≠ λ ф ( Икс )
так что это не удовлетворяет (2). Однако, если ф ( Икс ) "=" е к Икс , затем
А ф "=" д д Икс ( е к Икс ) "=" к е к Икс "=" к ф ( Икс )
который действительно удовлетворяет (2) с собственным значением λ "=" к .

Собственные функции уравнения Шрёдингера
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v