Представление в гильбертовом пространстве произведения двух преобразований симметрии

Question

Представление в гильбертовом пространстве произведения двух преобразований симметрии

пользователь4235

Мы знаем из теоремы Вигнера, что представление преобразования симметрии в гильбертовом пространстве либо унитарно и линейно, либо антиунитарно и антилинейно.

Позволять $T$ и $S$ два преобразования симметрии. Позволять $U(T)$ и $U(S)$ — представления этих преобразований. Что уж говорить об унитарности или антиунитарности $U(TS)$ если мы знаем унитарность или антиунитарность U(T) и $U(S)$ ? Почему?

Сидиус Лорд

Мне это кажется довольно простым. Для антиунитарного оператора

U

$U$ у нас есть

(U ψ, U χ) = (ψ, χ)^{*}

$(U \psi, U \chi) = (\psi, \chi)^*$ . Тогда для продукта

U V

$U V$ из двух унитарных операторов имеем

(U V ψ, U V χ) = (ψ, χ)

$(U V \psi, U V \chi) = (\psi, \chi)$ , что означает произведение

U V

$U V$ является унитарным. Аналогично могут быть рассмотрены и другие случаи.

пользователь4235

Но U(TS) вообще не равно U(T)U(S). Если бы это было так, ваш аргумент сработал бы.

Сидиус Лорд

U (T S) = U (T) U (S)

$U(TS) = U(T)U(S)$ , это часть определения представления. У вас есть контрпример, где это не так?

Qмеханик

@Sidious Lord: Да, например, проективные представления .

Сидиус Лорд

@Qmechanic Хорошо, но когда у нас есть проективные представления, разве мы не переходим к покрывающей группе или не добавляем центральные расширения, чтобы у нас всегда было честное перед Богом представление? Я думал, что нет никаких препятствий для того, чтобы сделать это в соответствующих физических приложениях, но мне было бы интересно узнать, не правда ли это.

Qмеханик

@Sidious Lord: В моей интерпретации вопроса OP (v1), чтобы быть как можно более общим, слово « представление » не обязательно следует понимать как подразумевающее какую-либо групповую структуру или групповое представление (проективное или нет), ср. мой ответ.

Миша

@Qmechanic Слово «представление» в математике означает изоморфизм между одним объектом и другим. Если структура группы не сохраняется, это не представление. Я согласен с тем, что проективные представления также следует учитывать, но по несколько иным соображениям. Кстати, формально

U (T S) = U (T) U (S)

$U(TS)=U(T)U(S)$ выполняется для проективных представлений. Равенство в проективных пространствах и то, как они обычно объясняются, могут сбивать с толку, но групповая структура сохраняется.

Ответы (1)

Представление в гильбертовом пространстве произведения двух преобразований симметрии

Мне это кажется довольно простым. Для антиунитарного оператора $U$ у нас есть $(U \psi, U \chi) = (\psi, \chi)^*$ . Тогда для продукта $U V$ из двух унитарных операторов имеем $(U V \psi, U V \chi) = (\psi, \chi)$ , что означает произведение $U V$ является унитарным. Аналогично могут быть рассмотрены и другие случаи.
Но U(TS) вообще не равно U(T)U(S). Если бы это было так, ваш аргумент сработал бы.
$U(TS) = U(T)U(S)$ , это часть определения представления. У вас есть контрпример, где это не так?
@Sidious Lord: Да, например, проективные представления .
@Qmechanic Хорошо, но когда у нас есть проективные представления, разве мы не переходим к покрывающей группе или не добавляем центральные расширения, чтобы у нас всегда было честное перед Богом представление? Я думал, что нет никаких препятствий для того, чтобы сделать это в соответствующих физических приложениях, но мне было бы интересно узнать, не правда ли это.
@Sidious Lord: В моей интерпретации вопроса OP (v1), чтобы быть как можно более общим, слово « представление » не обязательно следует понимать как подразумевающее какую-либо групповую структуру или групповое представление (проективное или нет), ср. мой ответ.
@Qmechanic Слово «представление» в математике означает изоморфизм между одним объектом и другим. Если структура группы не сохраняется, это не представление. Я согласен с тем, что проективные представления также следует учитывать, но по несколько иным соображениям. Кстати, формально $U(TS)=U(T)U(S)$ выполняется для проективных представлений. Равенство в проективных пространствах и то, как они обычно объясняются, могут сбивать с толку, но групповая структура сохраняется.

Qмеханик · Answer 1

I) Теорема Вигнера утверждает, что операция симметрии $S: H \to H$ является унитарным или антиунитарным $^{1}$ оператор $U(S)$ до фазового коэффициента $\varphi(S,x)$ ,

С (Икс) "=" ф (С, Икс) \cdot U (С) (Икс), Икс е ЧАС, ф (С, Икс) е С, | ф (С, Икс) | "=" 1 .

$S(x)~=~ \varphi(S,x)\cdot U(S)(x), \qquad x~\in~H,\qquad \varphi(S,x)~\in~\mathbb{C} ,\qquad |\varphi(S,x)|~=~1 .$

В этом контексте операция симметрии $S$ по определению сюръективная (не обязательно линейная!) карта $S: H \to H$ такой, что

| ⟨ С (Икс), С (у) ⟩ | "=" | ⟨ Икс, у ⟩ |, Икс, у е ЧАС .

$|\langle S(x),S(y)\rangle|~=~|\langle x,y\rangle|,\qquad\qquad x,y~\in~H.$

Введем терминологию, что операция симметрии $S$ унитарного (антиунитарного) типа , если существует унитарное (антиунитарное) $U(S)$ , соответственно.

Более того, если ${\rm dim}_{\mathbb{C}} H \geq 2$ , то можно показать, что

$U(S)$ уникален с точностью до постоянного фазового множителя, и
$S$ не может иметь как унитарного, так и антиунитарного $U(S)$ . Другими словами, $S$ не может быть одновременно унитарным и антиунитарным.

II) Непосредственно применяя определения, следует, что композиция $S \circ T$ двух операций симметрии $S$ и $T$ снова является операцией симметрии, и можно даже выбрать

U (С \circ Т) "=" U (С) \circ U (Т) .

$U(S \circ T)~:=~U(S) \circ U(T).$ Наконец, в случае

{d i m}_{C} H \geq 2

${\rm dim}_{\mathbb{C}} H \geq 2$ ,

$S \circ T$ антиунитарного типа, если точно один из $S$ и $T$ имеют антиунитарный тип и
$S \circ T$ имеет унитарный тип, если ноль или два из $S$ и $T$ относятся к антиунитарному типу.

Ссылка:

В. Баргманн, Заметка о теореме Вигнера об операциях симметрии, J. Math. физ. 5 (1964) 862. Вот ссылка на файл в формате pdf.

--

$^{1}$ Мы используем для удобства терминологию, согласно которой линейность (антилинейность) $U(S)$ неявно подразумеваются определением $U(S)$ унитарными (антиунитарными) соответственно.

Дополнительные ссылки: 2. Вайнберг С. Квантовая теория поля . 1; Приложение 2.А, с. 91. 3. arxiv.org/abs/0802.3624 . 4. arxiv.org/abs/0808.0779 . 5. arxiv.org/abs/1112.2133 .

Представление в гильбертовом пространстве произведения двух преобразований симметрии

пользователь4235

Сидиус Лорд

пользователь4235

Сидиус Лорд

Qмеханик

Сидиус Лорд

Qмеханик

Миша

Ответы (1)

Qмеханик

Qмеханик

Qмеханик

Трудно понять доказательство Вайнбергом теоремы Вигнера

Почему обращение времени представлено антилинейным и антиунитарным оператором? [дубликат]

Генераторы определенной симметрии в квантовой механике

Почему операторы могут быть представлены в виде матриц в квантовой механике?

Эрмитово сопряжение дифференциального оператора

Как неэрмитова квантовая механика (PT-симметричная КМ) вписывается в физику?

Об определении величины ожидания в квантовой механике

Что такое физические состояния в картине Гейзенберга?

⟨ψ|A^|ψ⟩=⟨ψ|B^|ψ⟩⟨ψ|A^|ψ⟩=⟨ψ|B^|ψ⟩\langle\psi|\шляпа{A}|\psi\rangle = \langle\psi|\hat{B}|\psi\rangle для всех |ψ⟩|ψ⟩|\psi\rangle означает, что A^=B^A^=B^\hat{A} = \hat{ Б}?

Квантовая механика; Сакурай; Бесконечно малый перевод