Обращение времени и антилинейные операторы

Я изо всех сил пытаюсь решить этот вопрос. Кто-нибудь может мне помочь?

Рассмотрим общую квантово-механическую систему, управляемую гамильтонианом   ЧАС ( т ) .

В дальнейшем будем обозначать оператор эволюции через   ты ( т , т 0 ) . Следовательно,   | Ψ ( т ) >= ты ( т , т 0 ) | Ψ 0 > удовлетворяет зависящему от времени уравнению Шрёдингера, где   | Ψ 0 > представляет волновую функцию при   т "=" т 0 .

(a) Докажите условие унитарности   ты † ( т , т 0 ) ты ( т , т 0 ) "=" ты ( т , т 0 ) ты † ( т , т 0 ) "=" я .

(б) Предположим теперь, что исследуемая система обладает симметрией, представленной антилинейным (и антиунитарным) оператором U что не имеет ничего общего с обращением времени. Покажите, что в этом случае   [ ты ( т , т 0 ) , U ] "=" 0 , а значит, система неустойчива, так как ее спектр не ограничен снизу.

в) Показать, что неустойчивость исчезает, если U включает обращение времени.

Вывод из (b) и (c) заключается в том, что симметрии, представленные антилинейными операторами, возможны, но они обязательно включают обращение времени.

Подсказка: H эрмитово. Брать т 0 "=" 0 . Также: ты ( т ) "=" е я ЧАС т час .

Ответы (1)

Давай сделаем ты ( т ) "=" е я т ( ЧАС отшельник)

Затем ты † ты "=" е − я т е я т "=" е я т е − я т "=" ты ты † "=" 1

Позволять е я т и U воздействовать на ф :

( е я т U − U е я т ) ф "=" ( − е я т U + е − я т U ) ф , или ( − е я т + е − я т ) U ф .

Сейчас U ф "=" − U ф , так ( − е я т + е − я т ) "=" − ( − е я т + е − я т ) и поэтому 0 , поэтому выполняется (б)

Когда мы включаем обращение времени в U , позволять U е я т воздействовать на ф ( 0 ) , который становится − ф ( т ) .

Попробуйте сами оттуда.

ЧАС не имеет значения, потому что это эрмитово. И ℏ является константой.
Эрмитова конъюгата ЧАС это H. Конечно, вы можете впустить его, но для конечного результата это не имеет значения: ( − е я ЧАС т + е − я ЧАС т ) "=" − ( − е я ЧАС т + е − я ЧАС т ) , что также означает ноль.
@AccidentalFourierTransform-Почему вы удалили два своих комментария, в которых вы спрашивали меня, почему я не взял ЧАС во внимание в е я т выражение?
Обращение времени и антилинейные операторы
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v