Генераторы определенной симметрии в квантовой механике

В классической механике для описания симметрий, таких как сдвиги и повороты, мы используем диффеоморфизмы на конфигурационном многообразии. В квантовой механике мы используем унитарные операторы в пространстве состояний. Мы навязываем унитарность, потому что не хотим, чтобы действие симметрии мешало нормализации состояний.

Теперь примерами этого являются случаи переводов и поворотов. Они определяются непосредственно в терминах классических. В случае поворотов, если$\mathcal{E}$- пространство состояний бесспиновой частицы в трех измерениях, и если$R\in SO(3)$это вращение в трех измерениях, мы имеем индуцируемое вращение$\hat{R}\in \mathcal{L}(\mathcal{E})$к

$$\langle \mathbf{r} | \hat{R}|\psi\rangle = \langle R^{-1}\mathbf{r}|\psi\rangle.$$

Теперь в классической механике мы часто хотим говорить о бесконечно малой версии симметрии, которая известна как ее генератор. В квантовой механике та же самая идея очень важна. Генераторы вращения, например, являются операторами углового момента.

Вся суть генераторов в том, что

1. Их можно интерпретировать как бесконечно малую версию симметрии.
2. По аналогии с группами Ли, если$A$и если$\xi$является его генератором, мы должны быть в состоянии написать

$$A_\alpha = \exp(i\alpha \xi),$$

где$\alpha$— параметр, характеризующий степень применения симметрии. Генераторы операторов$\xi$тогда являются эрмитовыми операторами.

Это факты, которые я знаю совершенно неформально и не строго. Я хочу уточнить идею генераторов симметрии в КМ.

Одна проблема, которая у нас уже есть, заключается в том, что экспонента может сходиться, поскольку существуют неограниченные операторы. В любом случае: как мы точно определяем генераторы оператора, как мы показываем, что они существуют, и как мы записываем оператор в виде экспоненты через его генераторы строгим образом?