Почему оператор эволюции во времени U(t)U(t)U(t) явно зависит от времени в картине Шредингера?

Другие люди дали отличные ответы, я просто хотел добавить свои 2 цента на случай, если это в сочетании с другими ответами поможет вам.

В картине Шредингера утверждение состоит не в том, что все операторы не зависят от времени. Скорее, утверждение состоит в том, что: состояния развиваются со временем, операторы Observable не зависят от времени . Итак, мое состояние на картинке Шредингера$|\psi_S\rangle$будет зависеть от времени:$|\psi_S\rangle = |\psi_S(\vec{r}, t)\rangle$и мои операторы Observable не будут зависеть от времени:$S_x \neq S_x(t)$.

Однако операторы, соответствующие ненаблюдаемым, могут зависеть от времени.$U(t)$не является оператором, соответствующим наблюдаемой (это очевидно, поскольку$U(t)$не эрмитов).

В картине Гейзенберга это состояния, которые не развиваются со временем, и наблюдаемые операторы, которые эволюционируют.

Надеюсь, это поможет!

Оператор эволюции времени$U(t)$на самом деле не является оператором, наблюдаемым в теории Шредингера .$^1$ни изображения Гейзенберга как таковые, а скорее переплетающий оператор между двумя изображениями.

--

$^1$Также, вероятно, стоит упомянуть, что операторные наблюдаемые в картине Шредингера в принципе могут иметь временную зависимость, как правило, из-за внешних источников.

Как оператор, оператор временной эволюции отражает временную эволюцию кет состояния. Предположим, у вас есть кет состояния, заданный$\vert\alpha,t_0\rangle$в$t=t_0$. Оператор временной эволюции сообщает вам эволюцию состояния кет в более позднее время.$t$,$\vert\alpha,t_0;t\rangle$.

Для простого случая, когда гамильтониан системы не зависит от времени, оператор эволюции во времени имеет вид

$$U(t,t_0)=exp\left[\frac{-iH(t-t_0)}{\hbar}\right]$$

которое следует из уравнения Шрёдингера для оператора эволюции во времени:

$$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}U(t,t_0)=HU(t,t_0)$$

Как видите, оператор эволюции во времени не зависит ни от абсолютных значений ни$t$или$t_0$, вместо этого это зависит только от разницы между ними. Таким образом, оператор временной эволюции не имеет явной зависимости от времени.

То есть при заданном интервале времени, в котором происходит эволюция, матричные элементы оператора относительно базовых наборов гамильтониана не меняются во времени. Вас может смутить термин$t-t_0$в операторе. Это необходимо там, потому что оно говорит о временной эволюции, которая происходит с состоянием ket в течение этого интервала времени, при условии, что вы знаете начальное состояние системы. Но в течение этого конкретного интервала времени форма оператора не изменится.

Можно провести аналогию со стационарными кетами. Как видно из названия, они не меняются со временем. Однако, если вы проанализируете волновую функцию,

$$\psi(x,t)=\psi(x)e^{-\frac{iHt}{\hbar}}$$

есть часть, зависящая от времени. Значит ли это, что стационарное состояние эволюционирует во времени? Это отчасти да. Хотя сами состояния развиваются со временем, любая измеримая величина или ожидаемые значения наблюдаемой по-прежнему не зависят от времени. Как это возможно? Зависящая от времени часть может вызвать только изменение фазового фактора — вот и все.

Короче говоря, на заданном временном интервале эволюции волновая функция, вообще говоря, меняет свой вид, а оператор — нет. Это в точности картина Шрёдингера.

Концептуально обычно лучше думать об операторе эволюции во времени$U(t_f, t_i)$как зависящее от двух времен: начального и конечного. Когда мы запишем это в виде$U(t)$поскольку в зависимости от одного времени мы либо (а) позволяем$t := t_f$и неявно устанавливая$t_i$к некоторому понимаемому эталонному времени, такому как$t_i = 0$, и/или (b) если система трансляционно-инвариантна во времени, то$U$зависит только от разницы$t_f - t_i$, и мы обозначаем эту разницу через$t$. (Случай (b) можно рассматривать как частный случай случая (a).) Хотя мы часто можем обойтись без этого во многих полезных ситуациях, строго говоря, это применимо только в особых случаях.

Чтобы понять общие свойства операторов эволюции во времени, лучше рассмотреть общий случай с двумя временами и подумать о$U(t_f, t_i)$. Когда мы это делаем, мы видим, что оператор эволюции времени на самом деле не имеет какого-либо конкретного значения в любой данный момент времени — вместо этого он по своей сути описывает отношения между двумя разными временами. Это больше похоже на вектор смещения, чем на вектор положения. (Даже в трансляционно-инвариантном случае версия с одним аргументом$U(t_f - t_i)$технически определяется над одномерным аффинным пространством , а не над одномерным векторным пространством, как можно было ожидать.)