Собственные состояния конического потенциала в трех измерениях?

Если мы возьмем обычное стационарное уравнение Шёдингера:

ЧАС | ψ ⟩ "=" Е | ψ ⟩ ,
и использовать конический потенциал В ( р ) "=" А р получаем дифференциальное уравнение:
[ − ( ℏ 2 2 м ) ∇ 2 + А р ] ψ ( р → ) "=" Е ψ ( р → ) .

В одном измерении это становится дифференциальным уравнением Эйри с функцией Эйри , ψ н ( Икс ) "=" Н [ знак ⁡ ( Икс − Икс н ) ] н Ай ⁡ ( к | Икс − Икс н | ) , дающие нормируемые решения для значений Икс н фиксируется энергией и обратным масштабом к "=" 2 А м ℏ 2 3 .

Известны ли собственные значения и собственные состояния для двумерного и, особенно, трехмерного случаев? Даже для состояний с нулевым угловым моментом? Я спросил о том, может ли полученное дифференциальное уравнение быть связано со стандартным уравнением с известными решениями на math.stackexchange и не получил там ответа, но я подумал, что кто-то здесь, на physics.stackexchange, может быть лучше знаком с эта конкретная проблема.

Ответы (1)

Смотрите этот мой ответ . В г пространственные измерения, ваше уравнение гласит

ты ″ ( р ) + 2 м [ Е − В ℓ ( р ) ] ты ( р ) "=" 0
где эффективный потенциал
В ℓ "=" В ( р ) + 1 2 м ℓ г ( ℓ г + 1 ) р 2
с ℓ г "=" ℓ + ( г − 3 ) / 2 . Состояние с нулевым угловым моментом имеет ℓ "=" 0 , и поэтому в г "=" 3 размеры уравнение для ты ( р ) идентично одномерному уравнению Эйри, решение которого вы уже знаете. Для ℓ г ≠ 0 похоже, аналитических решений нет. Асимптотическое поведение при р → ∞ должно быть легко вычислено, поскольку центробежный член пренебрежимо мал по сравнению с линейным членом А р . Другие свойства системы не так легко оценить с помощью аналитических методов, но всегда можно прибегнуть к численным методам.

Собственные состояния конического потенциала в трех измерениях?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v