Почему положение и импульсное пространство являются примерами двойственности Понтрягина?

Question

Почему положение и импульсное пространство являются примерами двойственности Понтрягина?

двойственность
Физика
преобразование Фурье
квантовая механика
Гейзенберг-принцип-неопределенности

Пратюш Ратор

https://en.wikipedia.org/wiki/Position_and_momentum_space

https://en.wikipedia.org/wiki/Понтрягин_дуальность

Я пытаюсь понять логику принципа неопределенности. И, насколько я понимаю, это следует математически, если мы предположим, что волновая функция в пространстве импульсов является преобразованием Фурье волновой функции в пространстве положений. Я пытался копаться и выяснять, почему они должны быть так связаны, и единственное объяснение, которое я смог найти, это двойственность Понтрягина.

Любопытный Разум

Напоминание: комментарии предназначены для критики или уточнения вопроса, а не для полусырых ответов. Несколько комментариев удалено.

Ответы (4)

Почему положение и импульсное пространство являются примерами двойственности Понтрягина?

Напоминание: комментарии предназначены для критики или уточнения вопроса, а не для полусырых ответов. Несколько комментариев удалено.

тпаркер · Answer 1

С практической точки зрения, полный механизм дуальности Понтрягина намного более совершенен, чем нужно физикам для понимания принципа неопределенности. Есть несколько способов «вывести», что волновая функция импульсного пространства является преобразованием Фурье волновой функции пространственного положения, которые в некоторой степени зависят от вашего выбора исходных постулатов. Вот один общий путь:

Одним из общих исходных фундаментальных постулатов является коммутационное соотношение $[\hat{x}, \hat{p}] = i \hbar.$ Наиболее распространенное представление этого коммутационного отношения в позиционном пространстве: $\hat{x} \to x,\ \hat{p} \to -i \hbar \frac{\partial}{\partial x}$ . В этом представлении, взяв внутренний продукт $\langle x |$ и уравнение на собственные значения $\hat{p} |p\rangle = p | p \rangle$ дает дифференциальное уравнение

- я ℏ \frac{г ψ_{п} (Икс)}{г Икс} "=" п ψ_{п} (Икс),

$-i \hbar \frac{d\, \psi_p(x)}{dx} = p\, \psi_p(x),$ который имеет решение

ψ_{p} (x) = ⟨ x | p ⟩ \propto e^{(i p x) / ℏ}

$\psi_p(x) = \langle x | p \rangle \propto e^{(i p x)/\hbar}$ . Тогда для выражения произвольного состояния

| ψ ⟩

$| \psi \rangle$ в импульсном базисе мы можем использовать разрешение тождества

ψ (п) "=" ⟨ п | ψ ⟩ "=" \int г Икс ⟨ п | Икс ⟩ ⟨ Икс | ψ ⟩ \propto \int г Икс е^{- я п Икс / ℏ} ψ (Икс),

$\psi(p) = \langle p | \psi \rangle = \int dx\ \langle p | x \rangle \langle x | \psi \rangle \propto \int dx\ e^{-ipx/\hbar} \psi(x),$ это просто преобразование Фурье. Это прямо обобщается на более высокие измерения.

Кстати, тот факт, что волновые функции позиционного пространства и импульсного пространства являются преобразованиями Фурье друг друга (или, точнее, могут быть выбраны как преобразования Фурье друг друга), дает некоторую интуицию для соотношения неопределенностей, но на самом деле не является необходимым для получить его. Все, что вам нужно, это коммутационное соотношение, как я объясню здесь .

Не могли бы вы объяснить, почему мы верим в коммутационное соотношение и что оно означает? Сегодня я впервые прочитал о коммутации, и хотя я пытался читать в Интернете, я не смог понять это. Кроме того, если я хочу изучить используемые вами математические обозначения, [math]\hat{p}|p>[/math], какие темы мне следует искать? Спасибо.
@PratyushRathore en.wikipedia.org/wiki/Bra%E2%80%93ket_notation
@PratyushRathore Спрашивая, почему мы «верим» в коммутационные соотношения, мы, по сути, спрашиваем: почему квантовая механика?

флиппифанус · Answer 2

флиппифанус

Кажется, что здесь может быть что-то вроде курицы и яйца. Что первично, квантовая механика или преобразование Фурье? Согласно ответу Тпаркера кажется, что квантовую механику следует считать более фундаментальной, и тогда из нее следует преобразование Фурье. Однако подозреваю, что все наоборот.

Свойства Фурье были более или менее навязаны в тот момент, когда Планк открыл связь между энергией и частотой. $E=\hbar\omega$ , который позже был расширен до соотношения между импульсом и вектором распространения ${\bf p}=\hbar{\bf k}$ . Благодаря этим соотношениям отцы квантовой механики расширили все в терминах плоских волн. Итак, плоские волны образуют ортогональный базис. Следовательно, такое разложение сводится к анализу Фурье. В результате получается соотношение неопределенностей Гейзенберга.

Однако в квантовой механике также можно найти некоторые соотношения неопределенностей типа Гейзенберга, которые, по-видимому, не следуют непосредственно из соотношения Фурье. Например, рассмотрим отношение неопределенности, связанное со спином. Возникает вопрос: каков основной принцип, который приводит к соотношению неопределенностей, разделяемому анализом Фурье?

Этот основополагающий принцип, на мой взгляд, представляет собой понятие взаимно непредвзятых оснований . Любой скалярный продукт между элементами из соответствующих взаимно несмещенных базисов $\langle x|k\rangle$ дает постоянную величину, не зависящую от выбора элементов (фаза может быть разной). Любое состояние с конкретным представлением в одном базисе будет иметь представление во взаимно несмещенном базисе, который подчиняется соотношению неопределенностей типа Гейзенберга; ширина в терминах одного представления будет обратно пропорциональна ширине в другом представлении.

Какое это имеет отношение к анализу Фурье? Итак, преобразование Фурье — это связь между представлениями в двух взаимно несмещенных базисах. Это следует из того, что для этих базисов $\langle x|k\rangle=\exp(-ixk)$ , Который означает, что $|\langle x|k\rangle|=constant$ . Это свойство в конечном итоге приводит к известному нам соотношению неопределенностей.

тпаркер

Возможно, ваш ответ зависит от фразы «как мы это знаем», но для меня принцип неопределенности гораздо более общий, чем просто применение к взаимно непредвзятым основаниям. Для любых двух операторов, которые не коммутируют, мы имеем соотношение неопределенностей

σ_{A} σ_{B} \geq | ⟨ [A, B] ⟩ | / 2

$\sigma_A \sigma_B \geq |\langle [A, B] \rangle| / 2$ . Это утверждение относится только к самим двум операторам, но чтобы говорить о MUB, вам нужно указать два полных (и часто бесконечных) набора операторов, подавляющее большинство из которых вы никогда не используете. Это кажется огромным количеством ненужного багажа.

тпаркер

Между

σ_{x}

$\sigma_x$ и

σ_{x} + (1 / 2) σ_{y}

$\sigma_x + (1/2) \sigma_y$ , даже если они не принадлежат ни к одному MUB.

флиппифанус

Спасибо за ваши комментарии @tparker. Я так понимаю, операторы

A

$A$ и

B

$B$ связаны с собственными базами, которые взаимно несмещены, если эти операторы не коммутируют. Часть

σ_{x} + σ_{y} / 2

$\sigma_x+\sigma_y/2$ очевидно ездит с

σ_{x}

$\sigma_x$ . Я бы сказал, что идея состоит в том, чтобы определить, какие части на самом деле не коммутируют, что в этом случае было бы

σ_{x}

$\sigma_x$ и

σ_{y}

$\sigma_y$ .

Пратюш Ратор

Не могли бы вы объяснить чат выше и свой ответ для менее зрелой аудитории. В частности, пример @tparker, я не знаю, как его понять. Понятие взаимно несмещенных базисов очень полезно. Спасибо.

тпаркер

Итак, вы говорите, что, начиная с любого набора операторов, вы можете сделать что-то вроде процедуры ортогонализации Грама-Шмидта, но вместо того, чтобы избавиться от параллельных компонент векторов, вы избавитесь от частей операторов, которые коммутируют с ранее рассмотренными операторами? И конечным результатом этого процесса всегда будет взаимно несмещенный базис некоторого гильбертова пространства? Это возможно, но я скептически отношусь к тому, что существует эквивалент внутреннего продукта Грама-Шмидта, который позволяет нам однозначно выделить «часть

B

$B$ который ездит с

A

$A$ ".

Ганс

Я с @tparker здесь. Взаимно несмещенные базисы дают максимальную нижнюю границу в энтропийной версии принципа неопределенности, но не являются необходимыми для получения положительной нижней границы. Пока два основания не являются перестановками друг друга, нижняя граница положительна, чего и требует принцип неопределенности. Ваш последний абзац неверен в этом

⟨ x | k ⟩ = \exp (- i x k)

$\langle x|k\rangle=\exp(-ixk)$ не является константой в преобразовании Фурье.

флиппифанус

@tparker: Ситуация с двумя операторами, которые не ездят на работу, в то время как какая-то часть одного из них может коммутировать с другим, действительно представляет проблемы, я согласен. Тем не менее, я попытался ответить на вопрос ОП относительно более глубокого понимания, а не придумать методы для выполнения расчетов. Тем не менее, если они представлены некоммутирующими операторами

\hat{A}

$\hat{A}$ и

\hat{B}

$\hat{B}$ , я бы предложил попытаться максимизировать некоммутацию линейной комбинации с одним из них. Тогда результат будет представлять собой максимально некоммутирующую пару с взаимно несмещенными собственными базами.

флиппифанус

@Hans: Не уверен, что вы подразумеваете под «требуется». Я не пытаюсь предоставить доказательство, а скорее понимание. Обратите внимание, что если

⟨ x | y ⟩ = \exp (- i x k)

$\langle x|y\rangle=\exp(-ixk)$ , затем

| ⟨ x | y ⟩ | = 1

$|\langle x|y\rangle|=1$ , что является константой.

тпаркер

@Hans Да, я думаю, вы пропустили знак абсолютного значения в ответе flippiefanus.

Ганс

Взаимно несмещенные базы между любыми базисными состояниями

| e_{j} ⟩

$|e_j\rangle$ и

| f_{k} ⟩

$|f_k\rangle$ такой, что

| ⟨ e_{j} | f_{k} ⟩ |^{2} = \frac{1}{d}, \forall j, k \in {1, \dots, d}

$|\langle e_j|f_k \rangle|^2 = \frac{1}{d}, \, \forall j,k \in \{1, \dots, d\}$ . Это достигается только за

min_{| f ⟩} max_{j, k} | ⟨ e_{j} | f_{k} ⟩ |

$\min_{|f\rangle}\max_{j,k}|\langle e_j|f_k \rangle|$ . Но для выполнения неравенства принципа неопределенности требуется не достижение минимума, а только

max_{j, k} | ⟨ e_{j} | f_{k} ⟩ | < 1

$\max_{j,k}|\langle e_j|f_k \rangle|<1$ (где неравенство строгое). Что касается

⟨ e_{j} | f_{k} ⟩

$\langle e_j|f_k \rangle$ , да, я пропустил абсолютное значение или знак модуля в вашем ответе.

флиппифанус

@Hans: Я думаю, вы делаете предположение, что базовые элементы нормализуются, а здесь это не так. Их нельзя нормализовать, если

⟨ x | k ⟩ = \exp (- i k x)

$\langle x|k\rangle=\exp(-ikx)$ .

Ганс

Вы можете заменить

= \frac{1}{d}

$=\frac1d$ (который работает для конечномерного пространства) с константой, не зависящей от

(j, k)

$(j,k)$ в моем последнем комментарии. Важнейшей частью является

min max

$\min \max$ связь. Мой вывод верен. Вы как будто говорите, что только взаимно несмещенные основания порождают принцип неопределенности. Я хочу указать, что это только один частный случай, и взаимно предвзятые основания, которые составляют большинство случаев, тоже работают.

Ганс

Вы понимаете, что я говорю? Взаимно несмещенные базисы являются лишь крайним проявлением принципа неопределенности, в то время как почти все базисы смещены и проявляют принцип неопределенности. Так что ваше описание крайне неполно.

флиппифанус

@Hans: если честно, я не совсем понимаю твое объяснение. Можете ли вы предоставить какую-то ссылку или ссылку? Одна вещь: минимальное максимальное соотношение, которое вы дали с точки зрения

j, k

$j,k$ должны быть основаны на нормализуемых собственных состояниях. Кроме того: насколько я могу определить ( en.wikipedia.org/wiki/Entropic_uncertainty ), энтропийная неопределенность выводится из преобразования Фурье, что подразумевает взаимно непредвзятую основу.

Ганс

См. уравнение (6), основную теорему и ее обобщение, Maassen, H.; Уффинк, Дж. (1988). «Обобщенные энтропийные соотношения неопределенностей». Письма о физическом обзоре. 60 (12): 1103–1106. как указано на странице википедии, на которую ссылается ваш последний комментарий.

флиппифанус

@Hans: Спасибо за ссылку. Я посмотрю на это. Однако это похоже на вывод из Википедии, который предполагает анализ Фурье и, следовательно, предполагает взаимно непредвзятую основу.

Ганс

Нет. Где вы видели преобразование Фурье в этой статье? Версия статьи в Википедии касается преобразования Фурье

L^{2} (R)

$L^2(R)$ частный случай гильбертова пространства. Версия Маассена и Уффинка является обобщением общего гильбертова пространства — их версия конечномерна, но вывод должен доходить до бесконечности с соответствующей сходимостью. Он основан на теореме Рисса-Торина об интерполяционном неравенстве, являющейся обобщением неравенства Бабенко-Бекнера, на котором основана вышеупомянутая версия преобразования Фурье. Не могли бы вы сначала прочитать статью, а потом обсуждать?

задержка стека · Answer 3

Я постараюсь рассмотреть этот вопрос с точки зрения, полезной для развития интуиции. Таким образом, смотрите ответы других людей и ссылки в Википедии, чтобы заполнить технические детали.

Сначала комментарий по построению теории. Большая часть теоретической физики начинается с чьей-то догадки или обоснованного предположения. Затем вы видите, можете ли вы формализовать то, что, по вашему мнению, должно иметь место, и использовать новую структуру, чтобы делать прогнозы, которые проверяются экспериментом (в идеале). Затем итерации укрепят вашу структуру или докажут ее невозможность. Теории неизбежно будут содержать некоторые аксиомы (утверждения, которые вы считаете истинными, не доказывая их). Обратите внимание, что эти аксиомы не обязательно уникальны, и то, что вы выбираете в качестве аксиомы, а что является теоремой (следствием аксиом), несколько неоднозначно; различие может зависеть от ваших личных вкусов (хотя обычно в какой-то области существует некоторый консенсус).

Одна из возможных аксиом квантовой механики такова: состояние системы можно описать как «волновую функцию» в пространственных координатах, таких как xyz . (Вместо этого эта аксиома обычно обобщается и выражается в терминах гильбертовых пространств.)

Затем, если состояние физической системы (например, частицы) моделируется с помощью функции , вы можете задаться вопросом, что вы можете сделать с этой функцией и что она может вам сказать. Одна очевидная вещь, которую вы можете сделать с функциями, — это разложить их на суммы. Например, рассмотрим функции $f$ , $g$ и $h$ .

ф (Икс) "=" {Икс}^{2} + 5 Икс; г (Икс) "=" Икс; час (Икс) "=" {Икс}^{2}

$f(x) = x^2 + 5x \hspace{10pt};\hspace{10pt} g(x) = x \hspace{10pt};\hspace{10pt} h(x) = x^2$

Четко, $f$ может быть выражена как сумма $g$ и $h$ ; если вы возьмете 5 из $g$ и 1 из $h$ . Но есть гораздо более изощренные способы сделать то же самое. Как на интервале $x \in[a,b]$ , любая функция может быть выражена в виде бесконечной суммы синусов и косинусов. Это идея ряда Фурье . Тогда вы можете спросить себя, возможно ли то же самое на бесконечном интервале, $x\in[- \infty, \infty]$ , а оказывается так и есть. В этом заключается идея преобразований Фурье . Ясно, что когда вы это сделаете, вы усвоите множество технических деталей, которые важны при работе с преобразованиями Фурье. Но по духу вы делаете то же самое, что и в тривиальном примере выше.

Когда вы выполняете преобразование Фурье, как смешивать функции (например, 1 из $g$ и 5 из $h$ в примере) суммируется во второй функции, называемой «преобразование». Эта функция не может быть функцией $x$ (очевидно), так что это функция чего-то другого, давайте назовем переменную $k$ и функция $\tilde{f}(k)$ . Затем вы можете вернуться к своей физической теории и спросить, $\tilde{f}(k)$ имеет какой-либо физический смысл. Я имею в виду, если он расскажет вам что-нибудь полезное о вашей системе.

Оказывается, да; $k$ на самом деле связано с импульсом $p$ вашей системы. Где $p = \hbar k$ дает вам правильные прогнозы по сравнению с экспериментом. Вдобавок ко всему, он прекрасно сочетается с другими существующими теориями и другими идеями, которые вы считаете истинными.

Затем ваши друзья, проводившие эксперименты, возвращаются и говорят вам, что они, похоже, не могут одновременно определить импульс и положение частицы. А вы отвечаете, что знаете почему. Это следствие того факта, что частицы лучше всего моделируются функциями, а хорошо локализованная функция в $x$ становится нелокализованной функцией в $k$ (что в принципе $p$ ), и наоборот. Затем, проведя дальнейшие исследования теории преобразований Фурье, вы обнаружите, что функция, которая является одновременно «наиболее локализованной» в обоих $x$ и $k$ является функцией Гаусса , и из этой функции вы заключаете, что $\Delta x \Delta p \geq \frac{\hbar}{2}$ , где $\Delta x$ стандартное отклонение в $x$ , и $\Delta p$ стандартное отклонение в $p$ .

Затем вы делаете чашку кофе и ждете телефонного звонка из Стокгольма.

[Изменить ниже:]

Идея, что $p = \hbar k$ называется гипотезой де Бройля , и интуитивное понимание того, почему кто-то (например, де Бройль) предположил бы эту гипотезу, можно получить, рассматривая специальную теорию относительности. По сути: если у вас есть стационарная волна, чередующаяся синхронно, и вы путешествуете по ней с некоторой (высокой) скоростью, потеря одновременности будет означать, что волна приобретает пространственную частоту, а также импульс (относительно вас).

См. этот ресурс для некоторых красивых анимаций и дальнейших объяснений: 3blue1brown о принципе неопределенности .

безопасная сфера · Answer 4

безопасная сфера

Каждая неопределенность есть отражение существующей фундаментальной симметрии природы. Например, согласно теореме Нётер, временная симметрия приводит к сохранению энергии, а симметрия пространственного переноса приводит к сохранению импульса. Квантовым отражением этих симметрий является неопределенность времени/энергии и положения/импульса. Хотя по техническим причинам теорема Нётер ограничена лишь несколькими симметриями, она раскрывает связь между симметриями и законами сохранения и дает представление о природе неопределенности.

тпаркер

Непрерывные симметрии и их образующие всегда имеют коммутатор, равный

i ℏ

$i \hbar$ , но принцип неопределенности справедлив в более общем случае для операторов с произвольным ненулевым коммутатором.

безопасная сфера

@tparker Я совершенно не согласен с вашим комментарием, за исключением одного очень важного момента: он не относится к моему ответу. Пожалуйста, внимательно прочитайте мой ответ и скажите, где именно в нем говорится, против чего вы возражаете. Я вижу, как можно установить эту связь, читая невнимательно и делая мысленные предположения, что ответ утверждает то, чего на самом деле нет. Например, где вы видите, что я связываю неопределенность со специфически непрерывными симметриями??? Пожалуйста, удалите незаслуженный минус, я был бы признателен. Мой ответ комплиментарный и не противоречит вашему.

Любопытный Разум

В вашем первом предложении ясно говорится, что вы считаете, что каждая неопределенность связана с «существующей фундаментальной симметрией». Именно против этого возражает Тпаркер — это часто верно для принципов неопределенности вида

. . . \geq i ℏ

$...\geq \mathrm{i}\hbar$ но не обязательно (!), и просто ложно для большинства пар операторов, на которые можно посмотреть. Во-вторых, неопределенность «время/энергия» не следует рассматривать как относящуюся к тому же типу, что и неопределенность положения/импульса, ср. физика.stackexchange.com/a/53804/50583 для довольно иного значения "

Δ t

$\Delta t$ "там.

безопасная сфера

Да, каждая неопределенность представляет собой симметрию, но не обязательно непрерывную. Это довольно очевидно, поскольку любая неопределенность относится к паре сопряженных Фурье, в то время как отношение Фурье можно рассматривать как представляющее симметрию. Во-вторых, симметрия времени/энергии и неопределенность абсолютно того же рода, что и положение/импульс, если смотреть на них правильно. Время – это координата пространства-времени вместе с координатами пространства. Энергия и миментун являются составляющими 4-импульса. Обе симметрии находятся между координатой и соответствующим компонентом 4-импульса, точно такой же тип симметрии.

безопасная сфера

Я вижу, где может быть путаница. Симметрия, используемая в теореме Нётер, — это не та симметрия, о которой я говорю. Например, по Нётеру, импульс сохраняется, если пространство обладает непрерывной трансляционной симметрией. Симметрия в теореме относится только к положению, пока импульс постоянен. Это ограниченный частный случай общей симметрии положения/импульса, когда пространство неоднородно и симметрия пространственного перемещения отсутствует, но симметрия положения/импульса все еще сохраняется. Это позволяет представить кривизну пространства как «силовое поле» в плоском пространстве и восстановить сохранение.

Почему положение и импульсное пространство являются примерами двойственности Понтрягина?

Пратюш Ратор

Любопытный Разум

Ответы (4)

тпаркер

Пратюш Ратор

тпаркер

Любопытный Разум

флиппифанус

тпаркер

тпаркер

флиппифанус

Пратюш Ратор

тпаркер

Ганс

флиппифанус

флиппифанус

тпаркер

Ганс

флиппифанус

Ганс

Ганс

флиппифанус

Ганс

флиппифанус

Ганс

задержка стека

безопасная сфера

тпаркер

безопасная сфера

Любопытный Разум

безопасная сфера

безопасная сфера