В квантовой механике существует принцип неопределенности между сопряженными переменными, что приводит к дополнительным описаниям квантовой системы. Но переменные сопряжены в двух разных математических смыслах.
Один из смыслов, в котором они сопряжены, - это преобразование Лежандра лагранжиана в гамильтониан (где вводятся обобщенные координаты импульса).
А в другом смысле они сопряжены относительно преобразования Фурье. Кажется очевидным, почему сопряжение в этом втором смысле привело бы к принципу неопределенности и привело бы к двум двойственным описаниям системы. То же самое происходит с любыми волнами. В цифровой обработке сигналов они называются частотной областью и временной областью. В физике твердого тела k-пространство называется «обратной решеткой» или «двойственной решеткой», поскольку это двойное описание пространства положений, использующее вместо этого волновое число, сопряженное с Фурье, k в качестве основы. Действительно, преобразования Фурье — это всего лишь частный случай двойственности Понтрягина.
Что для меня не очевидно, так это то, почему и как связаны эти два разных значения сопряженности. Существует ли реальная математическая связь? Или это просто случайное допущение квантовой механики, согласно которому, когда вы видите сопряжения Лежандра, вы должны автоматически сделать их сопряженными Фурье, наложив канонические коммутационные соотношения? Есть ли другой способ, кроме простого принятия этого как постулата, понять эту связь? Если нет, то не может ли существовать непротиворечивая версия квантовой механики, в которой другие виды пар переменных были бы сопряжены Фурье в гильбертовом пространстве вместо использования сопряжений Лежандра?
I) Преобразование Лежандра можно, например, рассматривать как ведущую классическую древовидную формулу формального квазиклассического преобразования Фурье .
Этот факт используется, например, в КТП, когда связывается квантовое действие , статистическая сумма , порождающий функционал для связных диаграмм и эффективное действие .
II) Чтобы увидеть переписку в деталях, пусть и быть двумя двойственными/сопряженными переменными (в обоих смыслах!). Позволять
быть два формальных степенных ряда в с функциональными коэффициентами. Рассмотрим их квазиклассические экспоненты
Теперь предположим, что
является преобразованием Фурье . Мы можем использовать приближение ВКБ/ стационарной фазы , чтобы сделать вывод, что классические части и являются дуальными по Лежандру друг другу, т.е.
для достаточно хорошей функции .
Кажется, я сам нашел ответ на свой вопрос.
Похоже, что связь между ними происходит из формулировки интеграла по путям Фейнмана в квантовой механике.
Чтобы понять, как это сделать, давайте на мгновение представим, что мы никогда не слышали об уравнении Шредингера и не знаем, какие коммутационные соотношения существуют между x и p или что состояния в этих базисах связаны преобразованиями Фурье. Вместо этого все, что мы знаем, это то, что существует некоторый квадратичный лагранжев в и что способ развить начальное состояние в момент времени t_i до конечного состояния в момент времени t_f состоит в том, чтобы интегрировать по всем путям от к . Где действие S — интеграл по времени от лагранжиана вдоль пути.
Если принять во внимание предел очень малого интервала времени между и , то подынтегральная функция интеграла по путям принимает вид:
где и
Левая часть демонстрирует отношение сопряженности Лежандра между x и p, а правая сторона демонстрирует отношение сопряжения Фурье между x и p. Если вы исходите из предположения, что мы просто переписываем действие в терминах гамильтониана, выполняя преобразование Лежандра, то вы получите произведение двух множителей. можно интерпретировать как уравнение Шредингера, а фактор можно интерпретировать как преобразование Фурье, которое говорит вам, как состояния импульса связаны с состояниями положения. Тот факт, что преобразование Фурье требуется для перехода от базиса x к p при суммировании состояний, эквивалентно каноническим коммутационным соотношениям между x и p; так что оба они, а также уравнение Шредингера, можно считать полученными из исходного предположения об интеграле по путям.
Таким образом, похоже, что математическая связь между сопряжениями Фурье и Лежандра несколько аналогична связи между алгебрами Ли и группами Ли. Уравнение Шредингера в терминах гамильтониана, где x и p — сопряженные Фурье, дает вам правило бесконечно малого для временной эволюции. В то время как интеграл Фейнмана по путям, где x и p являются сопряженными по Лежандру, дает вам возведенную в степень версию этого правила, которая говорит вам, как связать начальное состояние с конечным состоянием через некоторое конечное время. Один говорит вам о локальных свойствах, а другой — о глобальных свойствах, но оба они говорят одно и то же.
Похоже, что это, вероятно, связано с ответом @Qmechanic, но я не уверен, как именно.
Любопытный Разум
Эмилио Писанти