Соотношения неопределенностей, сопряженные величины и преобразования Фурье

Когда у вас есть куча взаимосвязанных явлений в физике, попытка выяснить, какое из них является «причиной» других, часто приводит к путанице. Разные люди будут исходить из разных постулатов, поэтому они будут расходиться во мнениях относительно того, какие результаты тривиальны, а какие нет, но, надеюсь, все согласны с тем, что верно. В первом курсе квантовой механики учитель может определить волновую функцию, основанную на импульсе, просто как преобразование Фурье волновой функции, основанной на положении, из которого можно вывести соотношение неопределенностей. В более продвинутом курсе они могли бы обобщить концепцию импульсного базиса на что-то более абстрактное или физическое.

В стандартном представлении КМ определяющее отношение между операторами положения и импульса постулируется как каноническое коммутационное соотношение$[x, p] = i \hbar$. Отсюда мы можем вывести принцип неопределенности Гейзенберга из соотношения неопределенностей Шрёдингера

$$\sigma_A \sigma_B \geq \frac{1}{2} \left| \langle [A, B] \rangle \right|$$

без необходимости вникать в какую-либо конкретную основу. Таким образом, принцип неопределенности является гораздо более общим, чем просто применение к операторам, которые подчиняются каноническим коммутационным соотношениям или являются преобразованиями Фурье друг друга. Можно разумно сказать, что нетривиальное коммутационное соотношение является «причиной» соотношения неопределенностей. Но для особого случая канонически сопряженных операторов размышления о преобразовании Фурье могут сделать соотношение неопределенностей более интуитивно понятным, чем абстрактный математический результат, приведенный выше.

Что касается вашего вопроса о том, «все ли сопряженные величины, связанные каноническим соотношением коммутации, [являются] преобразованиями Фурье» - да, в некотором смысле это верно. Для любых двух канонически сопряженных операторов$A$и$B$которые действуют на гильбертовом пространстве$\{ | u \rangle \}$который может быть проиндексирован непрерывным параметром$u$(которое могло бы физически соответствовать положению, или импульсу, или чему-то еще), одно из возможных представлений коммутационного отношения в$u$основа$A \rightarrow u,\ B \rightarrow -i \hbar \frac{d}{du}$. В этом представлении выражения для любой волновой функции в$A$- и$B$- основания будут преобразованиями Фурье друг друга. Однако возможны и другие представления, которые приводят к физически эквивалентным результатам, но к волновым функциям, которые не являются преобразованиями Фурье друг друга. (Например, другое представление будет$A \rightarrow u,\ B \rightarrow f(u) - i \hbar \frac{d}{du}$для любой функции$f(u)$). В частности, принцип неопределенности выполняется в любом представлении, так как он непосредственно следует из коммутационного соотношения. Преобразование между различными представлениями канонических коммутационных соотношений является примером «калибровочного преобразования».

Теорема Стоуна -фон Неймана очень грубо говорит, что для любых операторов$A$и$B$удовлетворяя каноническому коммутационному соотношению, можно обойтись стандартным представлением$A \rightarrow u,\ B \rightarrow -i \hbar \frac{d}{du}$не теряя общий смысл. (Точнее, там говорится, что любое представление возведенного в степень канонического соотношения коммутации на достаточно гладком гильбертовом пространстве унитарно эквивалентно стандартному представлению, поэтому любое другое представление просто описывает ту же самую физику в другой системе координат.)

Да, это не "истинная" причина. Прямая причина в том, что они не являются коммутирующими операторами. См. соотношение Робертсона-Шредингера .

В конечном итоге вы получаете, что произведение неопределенностей ограничено 1/2 абсолютного значения невозможности коммутировать. В случае положения и импульса это$\hbar/2$.