Показать собственное значение, не зависящее от магнитного квантового числа mmm

Question

Показать собственное значение, не зависящее от магнитного квантового числа mmm

Марсл

У нас есть скалярный оператор $A$ , инвариантный относительно вращений, который коммутирует с угловым моментом, т.е.

[А, {Дж}_{я}] "=" 0 где я "=" Икс, у, г

$[A,J_i]=0 \text{ where } i=x,y,z$

[А, {Дж}^{2}] "=" 0

$[A,J^2]=0$

Таким образом, собственные функции $A$ можно выбрать так, чтобы они были собственными функциями $J^2$ и $J_z$ . Я знаю, что соответствующие собственные значения этих операторов равны $\hbar^2j(j+1)$ и $\hbar m$ соответственно.

Я покажу, что собственные значения $A$ не зависят от магнитного квантового числа $m$ . Я чувствую, что это должно снова пойти по пути коммутатора, но я ничего не получаю.

Что-то вроде этого:

Предполагать $\psi$ являются собственными функциями всех трех операторов и

А ψ "=" λ ψ

$A\psi = \lambda \psi$ где

λ = λ (m)

$\lambda=\lambda(m)$ и привести это к противоречию. Любая помощь приветствуется!

Вальтер Моретти

Лемма Шура...

Марсл

Извините, но я еще не знаком с теорией групп/теорией представлений и никогда не изучал эту лемму. Нет ли более простого способа добраться туда?

Вальтер Моретти

Важным замечанием является то, что собственное пространство при фиксированном

j

$j$ базис которого помечен собственными значениями

L_{z}

$L_z$ является неприводимым. По лемме Шура всякая матрица, коммутирующая с

L_{k}

$L_k$ кратно единичной матрице...

Вальтер Моретти

Другое доказательство, более прямое, можно получить с помощью лестничных операторов:

A

$A$ ездит с ними...

ZeroTheHero

@ValterMoretti Ваши комментарии были бы очень полезны для многих студентов, если бы вы могли преобразовать их в четкий и хорошо написанный ответ.

Вальтер Моретти

я сделаю позже

Эмилио Писанти

Почему вы используете жирный шрифт для скаляра и почему вы используете непоследовательное выделение жирным шрифтом для A? Имеет ли значение использование жирного шрифта против курсива для этого оператора? Если это так, это должно быть сделано явным, если нет, то несогласованная запись должна быть удалена.

Ответы (1)

Показать собственное значение, не зависящее от магнитного квантового числа mmm

Извините, но я еще не знаком с теорией групп/теорией представлений и никогда не изучал эту лемму. Нет ли более простого способа добраться туда?
Важным замечанием является то, что собственное пространство при фиксированном $j$ базис которого помечен собственными значениями $L_z$ является неприводимым. По лемме Шура всякая матрица, коммутирующая с $L_k$ кратно единичной матрице...
Другое доказательство, более прямое, можно получить с помощью лестничных операторов: $A$ ездит с ними...
@ValterMoretti Ваши комментарии были бы очень полезны для многих студентов, если бы вы могли преобразовать их в четкий и хорошо написанный ответ.
Почему вы используете жирный шрифт для скаляра и почему вы используете непоследовательное выделение жирным шрифтом для A? Имеет ли значение использование жирного шрифта против курсива для этого оператора? Если это так, это должно быть сделано явным, если нет, то несогласованная запись должна быть удалена.

Вальтер Моретти · Answer 1

Прежде всего вопрос нужно сформулировать в более точной форме.

Гильбертово пространство $H$ является ортогональной прямой суммой собственных пространств $H_j$ из $J^2$ :

\begin{matrix} (1) & ЧАС "=" \oplus_{Дж} {ЧАС}_{Дж} \end{matrix}

$H = \oplus_{j}H_j \tag{1}$ где, очевидно,

\begin{matrix} (2) & Дж |_{{ЧАС}_{Дж}} "=" Дж (Дж + 1) я . \end{matrix}

$J|_{H_j}= j(j+1)I\:.\tag{2}$ С

A

$A$ и

J_{k}

$J_k$ ездить с

J^{2}

$J^2$ , каждый

H_{j}

$H_j$ инвариантен относительно действия этих операторов:

\begin{matrix} (3) & А ({ЧАС}_{Дж}) \subset {ЧАС}_{Дж}, {Дж}_{к} ({ЧАС}_{Дж}) \subset {ЧАС}_{Дж} . \end{matrix}

$A(H_j) \subset H_j\:,\quad J_k(H_j) \subset H_j\:.\tag{3}$

Ясно, что из (1) и (3) следует, что $A$ известна при условии, что она известна в каждом подпространстве $H_j$ . Поэтому я впредь рассматриваю ограничения $A|_{H_j}$ и $J_z|_{H_j}$ к общему $H_j$ , учитывая $H_j$ как гильбертово пространство теории, хотя я буду использовать более простое обозначение $A$ и $J_j$ на месте $A|_{H_j}$ и $J_z|_{H_j}$ .

С $A$ и $J_z$ ездить, может случиться так, $A=f(J_z)$ для некоторой непостоянной функции $f$ . Другими словами, собственный вектор $|j,m\rangle$ из $J_z$ с собственным значением $m$ также является собственным вектором $A$ с собственным значением $f(m)$ для некоторой непостоянной функции $f$ .

Докажем, что функция $f$ на самом деле постоянно. Это тезис, записанный в более точной форме.

Другими словами, $A$ ограниченный $H_j$ имеет форму $cI$ .

Как $L_k$ коммутирует с $A$ , $A$ коммутирует с $J_\pm$ которые представляют собой линейные комбинации $J_x$ и $J_y$ и поэтому из

А | Дж, - Дж ⟩ "=" ф (- Дж) | Дж, - Дж ⟩

$A|j,-j\rangle = f(-j)|j,-j\rangle$ у нас есть

{Дж}_{+} А | Дж, - Дж ⟩ "=" ф (- Дж) {Дж}_{+} | Дж, - Дж ⟩

$J_+A|j,-j\rangle = f(-j)J_+|j,-j\rangle$ то есть

А {Дж}_{+} | Дж, - Дж ⟩ "=" С_{Дж} ф (- Дж) | Дж, - Дж + 1 ⟩

$AJ_+|j,-j\rangle =C_j f(-j)|j,-j+1\rangle$ а именно

С_{Дж} А | Дж, - Дж + 1 ⟩ "=" С_{Дж} ф (- Дж) | Дж, - Дж + 1 ⟩ .

$C_j A|j,-j+1\rangle = C_jf(-j)|j,-j+1\rangle\:.$ Для некоторых не исчезающих

C_{j}

$C_j$ , так что

А | Дж, - Дж + 1 ⟩ "=" ф (- Дж) | Дж, - Дж + 1 ⟩ .

$A|j,-j+1\rangle = f(-j)|j,-j+1\rangle\:.$ Повторение операции (нахождение констант

C_{m} \neq 0

$C_m\neq 0$ ) мы получаем

А | Дж, м ⟩ "=" ф (- Дж) | Дж, м ⟩ если м "=" - Дж, - Дж + 1, \dots, Дж .

$A|j,m\rangle = f(-j)|j,m\rangle \quad \mbox{if $m=-j,-j+1,\ldots, j$.}$ Другими словами, явно написав ограничение на

H_{j}

$H_j$ , так как векторы

| j, m ⟩

$|j,m\rangle$ составляет основу

H_{j}

$H_j$ ,

А |_{{ЧАС}_{Дж}} "=" \sum_{м} ф (- Дж) | Дж, м ⟩ ⟨ Дж, м | "=" ф (- Дж) я .

$A|_{H_j} = \sum_{m} f(-j) |j,m\rangle \langle j,m| = f(-j)I\:.$ В каждом подпространстве

H_{j}

$H_j$ ,

A

$A$ постоянная

a I

$aI$ оператора, и эта константа может зависеть от

j

$j$ . Во всем гильбертовом пространстве:

А "=" \sum_{Дж, м} а_{Дж} | Дж, м ⟩ ⟨ Дж, м | "=" \oplus_{Дж} а_{Дж} я_{Дж} .

$A = \sum_{j,m} a_j |j,m\rangle \langle j,m| = \oplus_j a_jI_j\:.$

По сути, мы установили простейшую версию теоремы Вигнера-Экарта.

Красиво и просто сделано. В качестве технической детали, поскольку в целом действие $J_+$ на $\vert jm\rangle$ зависит от $m$ , как вам "устранить" это $m$ зависимость? то есть $AJ_+\vert jm\rangle =f(-j) \sqrt{(j-m)(j+m+1)}\,\vert j,m+1\rangle$
Да, конечно, однако эти коэффициенты сокращаются, так как они появляются с обеих сторон. Я исправил свой текст с их учетом.
Вау, спасибо большое. На самом деле первая часть точной постановки вопроса могла бы помочь мне даже больше, чем вторая. Я сейчас несколько раз обдумаю это и посмотрю, есть ли что-то не совсем понятное мне. Ваше здоровье!
@ValterMoretti Верно ... Я думал, вы могли бы использовать (ненормализованные) состояния, определенные как $J^k_+\vert j,-j\rangle$ без явной ссылки на $\vert j,-j+k\rangle$ не влияя на ваш аргумент.
Нет, я предпочитаю использовать нормализованные собственные векторы, чтобы получить стандартное спектральное разложение...

Показать собственное значение, не зависящее от магнитного квантового числа mmm

Марсл

Вальтер Моретти

Марсл

Вальтер Моретти

Вальтер Моретти

ZeroTheHero

Вальтер Моретти

Эмилио Писанти

Ответы (1)

Вальтер Моретти

ZeroTheHero

Вальтер Моретти

Марсл

ZeroTheHero

Вальтер Моретти

Помогите упростить уравнение коммутатора

Собственные значения, эрмитовы операторы и наблюдаемые в квантовой механике

Коммутатор положения и импульса

Коммутатор с квадратным корнем

Собственные значения произведения двух эрмитовых операторов [закрыто]

Есть ли простой способ найти собственные состояния оператора рождения и уничтожения в QM?

Докажите, что [A,Bn]=nBn−1[A,B][A,Bn]=nBn−1[A,B][A,B^n] = nB^{n-1}[A,B]

Квантовый коммутатор

Коммутация оператора углового момента [закрыто]

Как получить я \ hbar \ гидроразрыва {\ парциальное F (\ vec p)} {\ парциальное p_i}