Почему состояния отрицательной нормы нарушают унитарность?

Я спросил об этом Марка Средненицкого, и он сказал мне, что не совсем правильно говорить, что состояния с отрицательной нормой нарушают унитарность, потому что состояния с отрицательной нормой не существуют по определению внутреннего продукта. Часто бывает удобной вычислительной уловкой формально расширить ваше пространство состояний так, чтобы оно перестало быть гильбертовым, путем добавления фантомов с отрицательной нормой, а наличие физических состояний, формально связанных с фантомами, указывает на наличие квантовой аномалии, которая мешает вам от последовательного квантования вашей теории. Но это всего лишь расчетный трюк, чтобы увидеть аномалию — аномалия настоящая, а призраки — нет.

В частности, в принципе всегда можно увидеть существование аномалии, не вводя призраков. Например, обычное объяснение того факта, что теория бозонных струн может быть сформулирована только в 26 измерениях, состоит в том, что это единственное число измерений, в котором призраки разделяются. Но в качестве альтернативы мы можем работать в калибровке светового конуса только с состояниями с положительной нормой и обнаруживаем, что только в 26 измерениях генераторы Лоренца замыкаются. Это еще один способ увидеть аномалию, не требующий упоминания призраков.

Марк также сказал, что еще одна причина, по которой неправильно говорить, что призраки «нарушают унитарность», заключается в том, что они на самом деле просто мешают вам последовательно квантовать вашу теорию вообще — нет причин специально выделять унитарность как нарушенную.

Унитарность означает, что эволюция во времени реализуется унитарным оператором$U(t)=e^{-itH}$(в единицах, где$\hbar=1$) в гильбертовом пространстве. Если$H$реализуется как эрмитов линейный оператор в векторном пространстве с неопределенным скалярным произведением, это гарантируется только в том случае, если некоторое подпространство физических состояний является одновременно гильбертовым пространством и инвариантным относительно эволюции во времени. Так как в гильбертовом пространстве все$\psi^*\psi$неотрицательны, это означает, что никакое физическое состояние$\psi$могу иметь$\psi^*\psi<0$. Таким образом, все такие состояния нефизичны. Это и есть точное содержание утверждения «отрицательные нормальные состояния нарушают унитарность».

В общем пространстве внутреннего продукта$U(t)$все равно сохранит все внутренние продукты и, следовательно, все нормы. Но в общем случае полезного подпространства, состоящего только из состояний положительной нормы и нуля, не существует. Только последнее квалифицируется как гильбертово пространство. Обратите внимание, что линейные комбинации состояний положительной нормы могут иметь отрицательную норму; таким образом, условие положительности в подпространстве, достаточно большом для размещения представления всех соответствующих наблюдаемых, а не только подмножества, является очень ограничительным.

Унитарность - это идея о том, что состояния в (квантово-механическом) гильбертовом пространстве всегда нормализованы (имеют длину один),$\langle \psi|\psi\rangle = 1$. Обычно эволюция физической системы (в квантовой теории) описывается унитарным оператором, действующим на вектор состояния в гильбертовом пространстве. Например, эволюция системы во времени определяется выражением$e^{i H t} |\phi\rangle$, где показатель гамильтониана$e^{i H t}$— унитарный оператор, описывающий, как система развивается во времени.

Когда эволюция неунитарна, состояние больше не будет нормализовано. Это плохо, потому что вероятности всех добавленных возможных исходов больше не будут в сумме равняться единице. По той же причине, когда вы получаете ненормализованное состояние или состояние с отрицательной нормой, эволюция системы была неунитарной.