В каких случаях оператор Баталина-Вилковиского (БВ) нильпотентен?

Комментарии к вопросу (v3):

1. С одной стороны, традиционно оператор Баталин-Вилковиский (БВ)$\Delta$в лагранжевой формулировке БРСТ кодирует геометрические данные антисимплектического фазового пространства для модели, в частности антисимплектической структуры [т.е. так называемой антискобочной$(\cdot,\cdot)$, или нечетная скобка Пуассона] и плотность объема интеграла по путям$\rho$. Оператор БВ$\Delta f$по функции$f$обычно считается (пропорциональным)$\rho$-дивергенция$^1$векторного поля Гамильтона$(f,\cdot)$, что делает его дифференциальным оператором второго порядка, известным как нечетный лапласиан. Внешняя нильпотентность

   $$\Delta^2~=~0\tag{1}$$ из$\Delta$кодирует условие совместимости$^2$между антискобкой$(\cdot,\cdot)$а плотность меры интеграла по путям$\rho$.

2. С другой стороны, есть квантовое ведущее действие$W$, который построен из исходного действия, исходной калибровочной симметрии, вспомогательных полей и антиполей с использованием рецепта / поваренной книги BV таким образом, что он удовлетворяет основному квантовому уравнению

   $$\Delta e^{\frac{i}{\hbar}W}~=~0\qquad\Leftrightarrow\qquad\frac{1}{2}(W,W)~=~i\hbar\Delta W \tag{2}$$ вне оболочки. Квантовый БРСТ-оператор определяется как $$\sigma~:=~(W,\cdot)-i\hbar\Delta \tag{3}$$ Квантовый БРСТ-оператор нильпотентен $$\sigma^2~=~0\tag{4}$$ вне оболочки, из-за ур. (1)-(3).

3. Отметим для полноты, что существует также гамильтонов аналог лагранжева формализма BV. Это известно как формализм Баталина-Фрадкина-Вилковиского (БФВ). Здесь заряд БРСТ$Q$, который является нильпотентным по Пуассону

   $$\{Q,Q\}_{PB}~=~0\tag{5}$$ вне оболочки, генерирует преобразование BRST$\{Q,\cdot\}_{PB}$, который, в свою очередь, нильпотентен вне оболочки, $$\{Q,\{Q,\cdot\}_{PB}\}_{PB}~=~0\tag{6}$$ из-за экв. (5) и тождество Якоби для четной скобки Пуассона$\{\cdot,\cdot\}_{PB}$.

--

$^1$Теорема Лиувилля в симплектической геометрии, утверждающая, что гамильтоновы векторные поля бездивергентны, не выполняется в антисимплектической геометрии.

$^2$Это условие совместимости для$(\cdot,\cdot)$и$\rho$выполняется, например, для антисимплектических координат Дарбу с$\rho=1$. В литературе существуют различные обобщения, ослабляющие это условие совместимости.