Почему sss (и mmm) из собственного состояния ∣∣s,m⟩|s,m⟩\big |s,m \big > выходит за пределы состояния и входит в собственное значение вместе с ℏℏ\hbar?

На уроках квантовой механики я выучил обозначение базисных состояний, которое | с , м ⟩ . Насколько я понимаю, s — это спин (поэтому, если частица была спином 3 2 он всегда будет в этом положении), а m — проекция на этот базис, которая может принимать значения 3 2 , 1 2 , − 1 2 , и − 3 2 . Прежде чем мы просто использовали Дж ^ | ± г ⟩ "=" ± ℏ 2 | ± г ⟩ . Я понимаю, что это бесполезно, если у вас может быть более двух состояний.

Теперь я вижу уравнения, написанные так:

С ^ 2   | с , м ⟩ "=" с ( с + 1 ) ℏ 2 | с , м ⟩

Однако меня смущает выход s из базового состояния. Разве это не | с , м ⟩ собственное состояние и значение, которое перед ним, является соответствующим собственным значением? Почему s , являющееся частью собственного состояния, отсутствует в части собственного значения уравнения?

У меня такая же путаница с этим уравнением:

С ^ г | с , м ⟩ "=" м ℏ | с , м ⟩

Что я там делаю? у меня есть предчувствие, что Дж ^ | ± г ⟩ "=" ℏ 2 | ± г ⟩ также можно написать как

Дж ^ | 1 2 , ± 1 2 ⟩ "=" ± ℏ 2 | 1 2 , ± 1 2 ⟩
и так же, как С ^ г уравнение 1 2 вышел (вместо м ).

Однако это не помогает мне понять, почему s вышел из собственного состояния для С ^ 2 . Что там делает s и как решается, какая буква когда появляется? Мне действительно только что представили эти формулы без особых объяснений, и у меня возникли трудности с их применением (особенно если мне нужно изменить базис, чтобы он был вдоль x вместо z ).

Ответы (1)

Происходит то, что мы помечаем состояния их собственными значениями. По определению, государство | ψ ⟩ такой, что С 2 | ψ ⟩ "=" с ( с + 1 ) ℏ 2 | ψ ⟩ и С г | ψ ⟩ "=" м ℏ | ψ ⟩ будет обозначаться | с , м ⟩ вместо | ψ ⟩ . Это просто обозначение, но оно очень полезно, потому что мы избегаем использования избыточных имен, таких как ψ : собственное значение — это все, что нам нужно знать о состоянии, поэтому мы используем его в качестве имени.

Вы правы в том, что состояния, которые мы называем | 1 / 2 , ± 1 / 2 ⟩ точно такие же, как | ± г ^ ⟩ . В последнем тот факт, что полный спин с является 1 / 2 является неявным; как вы сказали, если мы хотим иметь более общие значения с мы должны сказать, что это такое.

Это одна из причин, по которой нотация Дирака так хороша: мы избегаем уродливых имен, таких как в с , м и вместо этого просто используйте |   ⟩ чтобы обозначить, что что-то является вектором, а затем поместить все, что мы хотим, в скобки. Однако мы сталкиваемся с небольшой проблемой, если хотим использовать С Икс вместо С г маркировать состояния, потому что тот факт, что м является собственным значением С г является неявным. В этом случае нам пришлось бы либо предупредить читателя, что м будет обозначать собственное значение С Икс (без ℏ ), или используйте обозначения, подобные | с , м Икс ⟩ . Опять же, это часть красоты всего этого: вы можете писать все, что хотите, внутри скобок. Вы даже увидите, как люди пишут такие вещи, как | живой ⟩ и | мертвый ⟩ когда речь идет о квантовых кошках.

Большое спасибо за ваше объяснение, оно идеально. Вы случайно не знаете какие-нибудь ресурсы, которые я использую, чтобы узнать больше о превращениях в С Икс от С г ? Это то, с чем у меня сейчас больше всего трудностей в моем курсе.
Я почти уверен, что он должен быть в любой вводной книге по QM, такой как Griffiths и Shankar (или что-то еще, что вы используете). Вы там смотрели?
Да, в настоящее время я использую «Современный подход к квантовой механике» Таунсенда. По большей части это хорошо, но для преобразований это сбивает с толку. Я посмотрю на два, которые вы упомянули, спасибо!
Почему sss (и mmm) из собственного состояния ∣∣s,m⟩|s,m⟩\big |s,m \big > выходит за пределы состояния и входит в собственное значение вместе с ℏℏ\hbar?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v